正弦定理是我曾经在课堂上记住的东西，但并没有内化：
好的，这是一个巧妙的联系，也许我们可以 证明它 通过画一些直角三角形（当然）并重新排列项来证明。
但这是什么意思？
与其说是正弦定理，不如把它看作是等视角定律：
每个角和边都可以独立地找到包围整个三角形的圆。 这种联系让我们从一个角出发，推导出其他角的事实。
类比：孩子们描述怪物
我偶尔会解开前院变异大猩猩的锁链，吓唬邻居家的孩子们。
孩子们尖叫着跑开，讲述着他们看到的不同故事：
“爱丽丝声称怪物有20英尺高，但我们都知道她喜欢夸大事实，会说两倍高。比利有点爱哭，他说有30英尺高。查理相当务实，说那只野兽正好有10英尺高。”
如果我们知道一个孩子的‘夸张因子’和他们声称的尺寸，就可以推断出怪物的真实大小。（你知道的，愤怒的乔治是有名字的。）
更好的是，我们可以预测 其他 其他孩子可能会说什么：如果爱丽丝声称有40英尺，查理会怎么说？
三角形与怪物圆
孩子们从怪物身边跑开和三角形有什么关系呢？嗯，每个三角形都被困在它自己的怪物圆里：
无论我们画什么三角形，都会有一个 一些 圆试图把它吞下去（技术上称为“外接圆”）。试试 本页 自己探索一个例子。
现在神奇之处在于：只要知道一个角及其对边，我们就能找出大圆（Monster Circle）。
方法如下。假设我们有一个这样的三角形：
我们什么都不知道，只知道角 $A$（设为30度）和边 $a$ 的长度（设为1英寸）。
首先：这是该三角形的正确画法吗？很可能不是！我们不知道其他边，所以下面这个也是可能的：
它仍然有相同的角（$A$ = 30度），底边的长度也没有变（仍然是1英寸）。
如果我们开始画出更多可能性呢？
哇。从 $A$ 的角度看， 所有 满足“$A$=30度，$a$=1英寸”的可能三角形都在这个圆上。无论 B 和 C 最终如何，它们都需要从这个圆中选择一个点。
类似地，我们可以从其他角度论证这一点：
- 我们可以锁定角 $B$ 和边 $b$，并描绘出一个可能的圆。
- 我们可以锁定角 $C$ 和边 $c$，并描绘出一个可能的圆。
这就是正弦定理（Law of Sines）的含义：每个角都不经意间生成了与其他角相同的圆。
（我们如何 证明，而不仅仅是看到可能性位于一个圆上？那是 圆周角定理的内容，改天再谈。）
计算实际大小
我们已经发现存在 是 一个大圆（Monster Circle），现在来看看它有多大。嗯……怎么求？
记住，我们可以在圆上滑动，同时保持 $A$（30度）和 $a$（1英寸）不变。那么滑动直到构成一个直角三角形：
啊！现在我们可以用正弦了。记住正弦是 相对于最大可能的高度百分比. 最大可能高度是怪物圆（Monster Circle）的整个直径（$d$）。
（为什么一个90度角正对直径？ 画一个正方形 在圆内，接触各边。它必须是对称的，对角线沿直径穿过中心，并且正对一个90度角。）
稍作整理，我们得到：
对另一边使用相同逻辑，我们得到：
从某种意义上说，$\sin(A)$ 是“夸张因子”，它将测量的角度尺寸（$a$）转换为整个直径（$d$）。每个角度都是一个不同的孩子，有些真的根据他们所见错误判断了整个圆的大小。（90度正好命中目标。）
练习题
在我们上面的例子中，$A$ 是30度，$a$ 是1英寸。
我们可以很快算出直径。首先，我们得到正弦值：
这意味着我们的长度 $a$ 是最大高度的50%，所以整个直径必须是2英寸。
仅凭这一点还不足以确定三角形。假设角 $B$ 出现并说它是45度。那么 $b$ 有多长？
那么，
这意味着 $b$ 是最大直径的0.707。因此，
以前，我会将数字代入正弦定理（Law of Sines）公式并代数求解。现在我可以从怪物圆的角度思考：“好的，我有最大直径。我取正弦，得到该边相对于最大直径的比例。”
大多数书将公式写为 sin(A) 在分子中。读作“A分之正弦A”可能更好，但它扭曲了结论：$\frac{a}{\sin(A)}$ 是圆的大小。
用自己的话理解概念。“正弦定理”是公式内容的通用描述，而“相等视角定理”（Law of Equal Perspectives）则解释了其含义：
- 三角形的所有部分都对整体有全局视角。
- 正弦是“放大因子”，它将单个边长放大到整个直径。（正弦是相对于最大可能值的百分比，我们用它来除。）
数学愉快。
附录：钝角
严格来说，由于 $B$ 大于90度，我们无法旋转它使 $A$ 或 $C$ 成为直角（如果可以，三角形内角和将超过180度）。
怎么办？认识到 $B$ 的180度补角（称为 $B\star$）在另一边充当替代：
$B \star$ 与 $B$ 具有相同的正弦值，这应该可以理解：它们都沿着同一轨迹向上。为了让我们晚上睡得更好，我们从直角设置中的 $B \star$ 开始：
并得到与之前相同的结论。呼。
然而，$B$ 和 $B\star$ 可以互换这一事实可能导致问题。
如果我知道一个三角形的 $A$ (30度) 和 $a$ (1英寸)，然后说 $b$ 是1.5英寸，你能推断出什么？
最大直径仍然是2英寸，所以
不幸的是，有两个角的正弦值相同：计算器显示 $\sin^{-1}(.75) = 48$ 度，但 $180 – 48 = 132$ 度也行（更多细节).
而且，在假设的场景下三角形可能不成立。如果我说 $b$ 是3英寸，你知道有些不对劲。最大直径先前已算出是2。即使是最理想的90度角，也最多只能有2英寸的边长。
ADEPT总结
| ADEPT主题 | 正弦定理 |
|---|---|
| 类比(Analogy) | 想象一下，孩子们用不同程度的夸张来描述同一个怪物。 |
| 图示(Diagram) |  |
| 示例(Example) | 假设 $A$=30°，$a$=1 英寸。由于 $\sin(A)=0.5$，怪物圆的宽度为 1/0.5 = 2 英寸。给定另一个角，我可以算出其对边的长度。如果 $B$=45°，那么边 $b$ 占直径的 $\sin(45)=0.707$，长度为 1.414 英寸。 |
| 通俗描述(Plain-English) | 任意一个角加一条边都可以推导出外接圆的大小。 |
| 技术描述(Technical) |  |