三角学助记符（Trig mnemonics）如 SOH-CAH-TOA 专注于计算，而非概念：
TOA解释正切（tangent）就像$x^2 + y^2 = r^2$描述圆一样。当然，如果你是个数学机器人，一个方程就足够了。我们其余的人，拥有半专用于视觉处理的有机大脑，似乎喜欢图像。而“TOA”唤起了抽象比率的惊人美感。
我认为你值得更好的，以下就是让我理解三角学的原因。
- 想象一个穹顶、一面墙和一个天花板
- 三角函数(Trig functions)是 百分比 对应三种形状(to the three shapes)
动机：三角函数是解剖学
想象一下外星人鲍勃（Bob The Alien）访问地球研究我们的物种。
没有新的词汇，人类很难描述：“顶部有一个球体，偶尔被刮擦”，或者“两个拉长的圆柱体似乎提供运动”。
在创建了解剖学的具体术语后，鲍勃可能会记下典型的 身体比例:
- 臂展（指尖到指尖）大约等于身高
- 一个头宽约等于五个眼宽
- 成年人身高约等于八个头高
这有什么帮助呢？
嗯，当鲍勃找到一件夹克时，他可以拿起来，伸展袖子，估计主人的身高。还有头部大小。还有眼间距。一个事实联系到多种结论。
更好的是，人类生物学解释了人类的思维。桌子有腿，组织有头，犯罪头目有肌肉。我们的生物学提供了现成的类比，这些类比出现在人造物中。
现在情节转折： 你 你是外星人鲍勃，在研究数学之地的生物！
像“三角形”这样的通用词汇不太有用。但给正弦（sine）、余弦（cosine）和斜边（hypotenuse）命名有助于我们注意到更深层的联系。学者们可能会研究半正矢（haversine）、外正割（exsecant）和 gamsin就像生物学家发现你胫骨和锁骨之间的关联一样。
而且因为三角形出现在圆中……
……而圆出现在周期中，我们的三角形术语有助于描述重复的模式！
三角学是“数学制造”物体的解剖学书籍。如果我们能找到一个隐喻的三角形，我们将免费获得一大群结论。
正弦/余弦：穹顶
与其像冰封的穴居人一样独自盯着三角形，不如想象它们在一个场景中，猎杀那头猛犸象。
假装你站在你的穹顶中央，正准备挂上一块电影屏幕。你指向某个角度“x”，屏幕就会挂在那里。
你指向的角度决定了：
- sine(x) = sin(x) = 屏幕高度，像标志一样悬挂
- cosine(x) = cos(x) = 沿地面到屏幕的距离 [“cos” ~ 有多“近”]
- 斜边，即到屏幕顶端的距离，始终保持不变
想要尽可能大的屏幕？直接指向上方。它就在你头顶正中心，但是—— 大 该死的。
想要屏幕最远？没问题。水平指向，0度。此时屏幕高度为“0”，并且如你所愿，它很远。
高度和距离朝相反方向变化：屏幕越近，高度越大。
提示：三角函数值是百分比
上学这么多年，从来没人告诉我： 正弦和余弦是百分比它们从+100%到0再到-100%，即从最大正值到零再到最大负值。
假设我交了14美元的税。你无法判断这贵不贵。但如果我说交了95%的税，你就知道我被宰了。
绝对高度没有意义，但如果你的正弦值为0.95，我就知道你几乎在穹顶顶部。很快你就会达到最大值，然后开始下降。
如何计算百分比？很简单：用当前值除以最大可能值（穹顶的半径，也就是斜边）。
那是 这就是为什么我们被告知“正弦 = 对边 / 斜边”。这是为了得到一个百分比！更好的表述是“正弦是你的高度，相对于斜边的百分比”。（如果你指向“地下”，正弦会变为负值。当你指向后方时，余弦变为负值。）
我们假设在单位圆（半径为1）上计算来简化。现在我们可以省去除法，直接说正弦等于高度。
每个圆实际上都是单位圆按比例缩放的结果。因此，先理清单位圆上的关系，再将结果应用到你的具体场景中。
试试看：输入一个角度，看看它达到的高度和宽度的百分比：
正弦函数的增长模式并非一条直线。前45度覆盖了70%的高度，而最后10度（从80到90）只覆盖了2%。
这应该可以理解：在0度时，你几乎垂直向上移动，但当到达穹顶顶部时，高度变化趋于平缓。
正切/正割：墙壁
有一天，你的邻居在你的穹顶旁竖起了一堵墙 就在旁边 。天啊，你的视野！你的房产价值！
但我们能否在糟糕的情况下做到最好呢？
当然。如果我们把电影屏幕挂在墙上呢？你指向一个角度 (x) 并计算出：
- tangent(x) = tan(x) = 墙上屏幕的高度
- 到屏幕的距离：1（屏幕沿地面总是相同的距离，对吗？）
- secant(x) = sec(x) = 到屏幕的“梯子距离”
我们有一些花哨的新词汇。想象一下，你看到维特鲁威的“正切绅士”投影在墙上。你爬上梯子，确保你能“看到，难道你看不见吗？”（是的，他是裸体的……现在你不会忘记这个类比了，对吧？）
让我们注意一下切线（即屏幕高度）的几个特点。
它从 0 开始，并趋向无穷大。你可以一直指向墙上更高的位置，得到一个无限大的屏幕！（那可得花不少钱。）
切线只是正弦的放大版！它永远不会更小，而且当正弦随着穹顶弯曲而“封顶”时，切线却在继续增长。
那么正割（梯子距离）呢？
- 正割(Secant)从1开始（梯子在地板上靠墙），然后逐渐增大
- 正割(Secant)总是比正切(Tangent)长。用来挂屏幕的倾斜梯子必须比屏幕本身长，对吗？（在极大尺寸时，当梯子几乎垂直时，它们很接近。但正割总是稍长一点。）
记住，这些值是 百分比。如果你指向一个 50 度的角度，tan(50) = 1.19。你的屏幕比到墙的距离（穹顶半径）大 19%。
（代入 x=0 并验证你的直觉：tan(0)=0，sec(0)=1。）
余切/余割：天花板
令人惊讶的是，你的邻居现在决定在你的穹顶上方建造一个天花板，一直延伸到地平线。（这家伙怎么了？哦，是我墙上那个裸男事件……)
好吧，是时候建一个坡道到天花板，然后聊聊天了。你选择一个角度来建造，并计算出：
- cotangent(x) = cot(x) = 天花板在我们连接之前延伸了多远
- cosecant(x) = csc(x) = 我们在斜坡上走了多远
- 垂直穿过的距离始终为1
正切/正割描述墙，而余切和余割描述天花板。
我们的直观事实类似：
- 如果你选择0度角，你的斜坡是平坦的（无穷大），永远碰不到天花板。真遗憾。
- 最短的“斜坡”是当你垂直向上指向90度时。余切为0（我们没有沿着天花板移动），余割为1（“斜坡长度”达到最小值）。
可视化联系
不久前，我对余割有一些 零 “直观结论”。但借助穹顶/墙/天花板的比喻，我们看到的是：
哇，这是同一个三角形，只是按比例放大到墙和天花板。我们有垂直部分（正弦、正切）、水平部分（余弦、余切）和“斜边”（正割、余割）。（注意：标签显示每个部分“延伸到”哪里。余割是从你到天花板的完整距离。）
现在神奇之处来了。这些三角形有相似的事实：
从 勾股定理 （$a^2 + b^2 = c^2$）我们可以看出每个三角形的边是如何关联的。
并且从 相似性，像“高与宽”这样的比率对于这些三角形必须相同。（直觉：远离一个大三角形。现在它在你的视野中看起来更小，但内部比率不可能改变。）
这就是我们发现“正弦/余弦 = 正切/1”的方式。
我一直试图记住这些事实，然而当可视化时它们就跳出来了。SOH-CAH-TOA 是一个很好的捷径，但首先要真正理解！
注意：记住其他角度
嘿…不要过度关注单个图表，认为正切总是小于1。如果增大角度，我们在碰到墙壁之前先碰到天花板：
毕达哥拉斯/相似性联系总是成立的，但相对大小可以变化。
（但你可能注意到正弦和余弦总是最小的，或者并列，因为它们被困在穹顶内。很好！）
总结：我们应该记住什么？
对我们大多数人来说，我认为这就足够了：
- 三角函数解释了“数学制造”的物体（如圆和重复周期）的解剖结构。
- 穹顶/墙/天花板类比展示了三角函数之间的联系。
- 三角函数返回百分比，我们将其应用于特定场景。
你不需要记住 $1^2 + \cot^2 = \csc^2$，除了那些把琐事误认为理解的愚蠢考试。在这种情况下，花一分钟画出穹顶/墙壁/天花板示意图，填入标签（你可以看到一个正切绅士，不是吗？），然后创建一个 速查表 给自己。
在后续内容中，我们将学习绘图、余角以及使用 欧拉公式(Euler's Formula) 来发现更多联系。
附录：正切的原始定义
你可能看到正切被定义为从圆到x轴的切线长度（几何爱好者可以推导出来）。
正如所料，在圆的顶部（x=90），切线永远无法到达x轴，并且是无限长的。
我喜欢这种直觉，因为它帮助我们记住“正切”这个名字，这里有一个很好的 交互式三角学指南 来探索：
不过，关键是要将正切竖直放置，并认识到它只是正弦投影到后墙上（连同其他三角形联系）。
附录：反函数
三角函数接受一个角度并返回一个百分比。$\sin(30) = .5$ 意味着30度的角度是最大高度的50%。
反三角函数让我们逆向工作，写为 $\sin^{-1}$ 或 $\arcsin$（反正弦），并且经常写为 asin 在各种编程语言中。
如果我们的高度是穹顶的25%，我们的角度是多少？
在计算器中输入反正弦(0.25)得到14.5度角。
那像反余割这样冷门的函数呢？通常计算器上没有这个功能（就连我写的那个也没有，唉）。
查看我们的三角速查表，我们可以找到一个简单的比例，将正割与1进行比较。例如，正割与1之比（斜边比邻边）等于1比余弦：
假设我们的正割是3.5，即单位圆半径的350%。与墙壁的夹角是多少？
附录：几个例子
示例：求角 x 的正弦值。
哎呀，好无聊的问题。不要总想着‘求正弦’，而是思考‘高度相对于最大值（斜边）的百分比是多少？’
首先，注意这个三角形是‘反向的’。没关系。它仍然有一个高度，用绿色表示。
最大高度是多少？根据勾股定理，我们知道
好的！正弦是高度相对于最大值的百分比，即3/5或0.60。
后续：求该角的角度。
当然。我们有几种方法。既然我们知道正弦=0.60，我们可以直接这样做：
另一种方法。不用正弦，注意三角形是‘靠着墙的’，所以正切也是一种选择。高度为3，到墙的距离为4，所以正切高度是3/4或75%。我们可以用反正切将百分比转换回角度：
示例：你能到达岸边吗？
你在一艘船上，燃料足够航行2英里。你目前离海岸0.25英里。你能使用的最大角度是多少才能仍然到达陆地？此外，唯一可用的参考资料是 休伯特的反余弦大全，第三版。（真是一次地狱般的航行。）
好的。在这里，我们可以将海滩视为‘墙’，到墙的‘梯子距离’就是正割。
首先，我们需要将所有东西归一化为百分比。我们拥有2 / 0.25 = 8个‘斜边单位’的燃料。因此，我们能允许的最大正割是到墙距离的8倍。
我们想要 比如 问‘什么角度的正割是8？’。但我们做不到，因为我们只有一本反余弦表。
我们用速查表图将正割与余弦联系起来：啊，我看到‘sec/1 = 1/cos’，所以
正割为8意味着余弦为1/8。余弦为1/8的角度是arccos(1/8) = 82.8度，这是我们能承受的最大角度。
还不错，对吧？在穹顶/墙/天花板类比之前，我会淹没在一堆计算中。将场景可视化使得找出哪个三角朋友能帮助我们变得简单，甚至有趣。
在你遇到的问题中，思考：我感兴趣的是穹顶（sin/cos）、墙（tan/sec）还是天花板（cot/csc）？
数学愉快。
更新： 的所有者 Grey Matters 为类比制作了交互式图表（拖动左侧滑块更改角度）：
谢谢！
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