这个 平均值 是一个简单的术语，有几种含义。使用的平均值类型取决于你是对集合中的项进行加法、乘法、分组还是除法运算。
快速测验： 你开车去上班时速30英里，回来时速60英里。你的平均速度是多少？
提示：不是45英里/小时，而且通勤距离无关紧要。继续阅读以了解这个统计工具的多种用途。
但这是什么意思？
让我们退一步思考：“平均值”到底是什么？
对大多数人来说，它是“中间的数”或“平衡”的数。我喜欢用 多个视角，所以这里是平均值的另一种解释：
平均值是这样一个值：它可以替换每个现有项，并且得到相同的结果。 如果我可以扔掉数据，用一个“平均值”来代替，那会是什么？
平均值的一个目标是通过获取一个“代表性”样本来理解数据集。但计算取决于组中项目之间的交互方式。让我们来看一看。
算术平均数(Arithmetic Mean)
算术平均值是最常见的平均值类型：
假设你体重150磅，和一位100磅的孩子以及一头350磅的海象同乘电梯。平均体重是多少？
真正的问题是：“如果你用3个相同的人替换这个欢乐的群体，并且希望电梯中的负载相同，那么每个克隆体应该多重？”
在这种情况下，我们会换成三个200磅的人[(150+100+350)/3]，没人会发现不同。
优点：
- 它适用于简单组合（相加）在一起的列表。
- 易于计算：只需相加再除以总数。
- 它很直观——是“中间”的数，被大值拉高，被小值拉低。
缺点：
- 平均值可能被异常值扭曲——它不能很好地处理变化剧烈的样本。100、200和-300的平均值是0，这是具有误导性的。
算术平均值在80%的情况下效果很好；许多量是相加得到的。不幸的是，总有20%的情况平均值不太适用。
中位数(Median)
中位数是“中间的那个数”。但平均数（算术平均值）不也意味着同样的事情吗？怎么回事？
请耐心理我一下：这些数字的“中间”是什么？
- 1, 2, 3, 4, 100
嗯，3 是列表的中间。虽然平均值（22）在某种意义上是“中间”的，但 22 并不能真正代表这个分布。我们更可能得到接近 3 而不是 22 的数。平均值被 100 这个异常值拉高了。
中位数通过取 排序列表中间的数字来解决这个问题。如果有两个中间数（偶数个项目），只需取它们的平均值。像 100 这样的异常值只会将中位数在排序列表中移动一个位置，而不是带来剧烈变化：1 2 3 4 的中位数是 2.5。
优点：
- 很好地处理异常值——通常是一组数据最准确的表示
- 将数据分成两组，每组项目数量相同
缺点：
- 可能更难计算：需要先对列表排序
- 不那么为人所知；当你说“中位数”时，人们可能以为你指的是“平均数”
有些笑话是这样的：“一半的司机低于平均水平。很可怕，对吧？”但实际上，在你心里，你知道他们应该说“一半的司机低于 中位数“.
像房价和收入这样的数字通常以中位数给出，因为我们想了解 群体中的中间位置。比尔·盖茨某年多赚 几十亿 可能会提高平均收入，但这与普通人的工资变化无关。我们并不关心把收入或房价“加”在一起——我们只想找到中间的那个。
再次强调，使用哪种平均值取决于数据的用途。
众数(Mode)
众数听起来很奇怪，但它只是指 进行投票。有时，投票而不是计算，是 获取代表性样本 了解人们想要什么的最佳方式。
假设你要举办一个派对，需要选择一天（1 是周一，7 是周日）。“最佳”日子应该是让最多人满意的选项：平均值可能没有意义。（“鲍勃喜欢星期五，爱丽丝喜欢星期天？那就星期六吧！”).
同样，颜色、电影偏好等等也可以 用数字衡量。但同样，理想的选择可能是众数，而不是平均值：“平均”颜色或“平均”电影可能会……令人不满意（兰博遇上傲慢与偏见）。
优点：
- 适用于排他性投票情况（这个选择或那个选择；没有折中）
- 给出最受欢迎的选择（而平均数可能给出没人想要的选择）。
- 易于理解
缺点：
- 需要更多计算工作（必须统计选票）
- “赢者通吃”——没有中间道路
“众数”这个术语并不常见，但现在你知道在使用你最喜欢的统计程序时该找哪个按钮了。
几何平均数(Geometric Mean)
“平均项目”取决于我们如何使用现有元素。大多数情况下，项目是相加的，算术平均值效果很好。但有时我们需要做更多。当处理投资、面积和体积时，我们不是加法，而是乘法。
让我们试一个例子。你更喜欢哪个投资组合，即哪个有更好的 典型年份?
- 投资组合A：+10%，-10%，+10%，-10%
- 投资组合B：+30%，-30%，+30%，-30%
它们看起来很相似。我们日常的平均值（算术平均值）告诉我们它们都是过山车，但平均下来应该是零利润或亏损。也许 B 更好，因为它在好年份似乎赚得更多。对吧？
错了！ 这样说会害了你： 股票市场投资回报是相乘而非相加的！我们不能随意使用算术平均——我们需要找到实际回报率：
- 投资组合A：
- 回报：1.1 * .9 * 1.1 * .9 = .98（2%的损失）
- 逐年年均：(.98)^(1/4) = 每年0.5%的损失（由于数字较小，这恰好约为2%/4）。
- 投资组合B：
- 1.3 * .7 * 1.3 * .7 = .83 (17% 损失)
- 同比平均值：(.83)^(1/4) = 每年损失 4.6%。
2%与17%的损失？差别巨大！我会避开这两个投资组合，但如果必须选择，我会选A。我们不能简单地将回报相加再除以数量——这不是 指数增长 投资的运作方式。
更多例子：
- 通货膨胀率： 你有 1%、2% 和 10% 的通货膨胀率。那段时间的平均通货膨胀率是多少？(1.01 * 1.02 * 1.10)^(1/3) = 4.3%
- 息票： 你有 50%、25% 和 35% 的折扣券。假设你可以全部使用，平均折扣是多少？（即，哪种折扣券可以使用三次？）(.5 * .75 * .65)^(1/3) = 37.5%. 将优惠券视为“负”回报——至少对商店而言。
- 面积: 你有一块 40 × 60 码的土地。“平均”边长是多少——即对应的正方形有多大？(40 * 60)^(0.5) = 49码.
- 体积: 你有一个 12 × 24 × 48 英寸的运输箱。“平均”尺寸是多少——即对应的立方体有多大？(12 * 24 * 48)^(1/3) = 24英寸.
我相信你能找到更多例子： 几何平均数在项目相乘时找到“典型要素”。 取一组数字，将它们相乘，然后取N次方根（其中N是所考虑的数字个数）。
我长期以来一直疑惑几何平均为何有用——现在明白了。
调和平均数(Harmonic Mean)
调和平均更难直观理解，但它仍然有用。（顺便说一句，“调和”指的是像1/2、1/3这样的数——实际上就是任何数的倒数。）调和平均帮助我们计算 平均速率 多个项目协同工作时的平均速率。让我们来看看。
如果我的速率是30英里/小时，意味着每单位输入（行驶1小时）会得到某个结果（行驶30英里）。在平均多个速率（X和Y）的影响时，你需要考虑输出和输入，而不是原始数值。
平均速率 = 总产出/总投入
如果让X和Y共同完成一个项目，每人做相同的工作量，平均速率是多少？假设X是30英里/小时，Y是60英里/小时。如果让他们做类似的任务（行驶1英里），推理过程如下：
- X 花费 1/X 时间（1 英里 = 1/30 小时）
- Y 花费 1/Y 时间（1 英里 = 1/60 小时）
合并输入和输出，我们得到：
- 总产出：2 英里（X 和 Y 各贡献“1”）
- 总投入：1/X + 1/Y（各自花费不同时间；想象接力赛）
平均速率（输出/输入）为：
如果有3个项目（X、Y和Z），平均速率为：
有这个捷径很好，不用每次都做代数计算——即使求5个速率的平均值也不难。在我们的例子中，去程速度为30英里/小时，返程速度为60英里/小时。要计算平均速度，只需使用公式。
但我们不需要知道距离吗？不需要！无论路程多长，X和Y的输出相同；也就是说，以速度X行驶R英里，再以速度Y行驶R英里。平均速度与以速度X行驶1英里再以速度Y行驶1英里相同：
平均值偏向较低速度（更接近30而非60）是合理的。毕竟，以30英里/小时行驶的时间是以60英里/小时行驶的两倍：如果工作地点在60英里外，去程需要2小时，返程只需1小时。
关键思想： 当两个速率贡献于同一工作量时，使用调和平均。每个速率处于 接力赛 并对输出贡献相同的量。例如，我们驾车往返于家和工作地点。一半的结果（行驶距离）来自第一个速率（30英里/小时），另一半来自第二个速率（60英里/小时）。
难点： 记住，平均值是 一个替换所有元素的单一元素在例子中，去程我们以40英里/小时驾驶（而不是30），回程以40英里/小时驾驶（而不是60）。重要的是要记住，我们需要用平均速率替换每个“阶段”。
几个例子：
数据传输： 我们在客户端和服务器之间发送数据。客户端以10 GB/美元发送数据，服务器以20 GB/美元接收数据。平均成本是多少？平均值为2 / (1/10 + 1/20) = 13.3 GB/美元 对于每个部分也就是说，我们可以将客户端和服务器替换为两台成本为13.3 GB/美元的机器。由于数据既发送又接收（每部分承担“一半工作”），我们真正的速率是13.3 / 2 = 6.65 GB/美元。
机器生产率我们有一台需要准备和完成零件的机器。准备时，运行速度为25个零件/小时；完成时，运行速度为10个零件/小时。总体速率是多少？平均值为2 / (1/25 + 1/10) = 14.28个零件/小时 对于每个阶段也就是说，现有的时间可以替换为两个阶段都以14.28个零件/小时运行，效果相同。由于一个零件要经过两个阶段，机器实际完成14.28/2 = 7.14个零件/小时。
购买股票假设你每月购买价值1000美元的股票，无论价格如何（美元成本平均法）。一月支付25美元/股，二月支付30美元/股，三月支付35美元/股。平均支付价格是多少？3 / (1/25 + 1/30 + 1/35) = 29.43美元（因为你在低价时购买更多，高价时购买更少）。你拥有3000 / 29.43 = 101.94股。“工作量”有点抽象——它是将美元转化为股票。有些月份购买一股需要更多美元，在这种情况下高比率是坏的。
再次强调，调和平均数有助于衡量 共同作用于同一结果的速率.
哎呀，这可真棘手
调和平均数 是 如果同时有 分离 机器以10个零件/小时和20个零件/小时运行，那么你的平均值确实是15个零件/小时，因为每台机器是独立的，并且你正在 增加能力在这种情况下，算术平均数就完全适用。
有时最好再检查一下，确保数学计算正确。在机器例子中，我们声称生产7.14个零件/小时。那么，生产7.14个零件需要多长时间？
- 准备：7.14 / 25 = .29 小时
- 完成：7.14 / 10 = .71 小时
是的，0.29 + 0.71 = 1，所以数字吻合：确实需要1小时生产7.14个零件。如有疑问，尝试运行几个例子，确保你计算的平均速率是正确的。
结论
即使像平均值这样简单的概念也有许多用途——我们还没有涵盖更多用途（重心， 加权平均数，期望值）。关键点是：
- “平均项”可以被视为能够替代所有其他项的那一项
- 平均类型取决于现有项的使用方式（相加？相乘？用作比率？用作互斥选择？）
让我惊讶的是，不同类型的平均值在分析数据时如此有用且多样。数学愉快。