贝叶斯定理是以下文章的主题 一篇详细的文章。这篇文章写得很好，但超过15,000字——以下是像我这样的贝叶斯新手的浓缩版：
测试本身并非事件。 我们有一个癌症 测试，与实际患有癌症的事件分开。我们有一个 测试 用于垃圾邮件，与实际收到垃圾邮件的事件分开。
测试是有缺陷的。 测试检测到不存在的东西（假阳性），并遗漏了存在的东西（假阴性）。人们经常使用测试结果而不调整测试误差。
假阳性会扭曲结果。 假设你在寻找非常罕见的东西（百万分之一）。即使测试很好，阳性结果很可能是 假阳性 在999,999中的某人身上。
人们更喜欢自然数。 说“10,000中有100”而不是“1%”有助于人们以更少的错误处理数字，特别是当有多个百分比时（“这100人中有80人会检测为阳性”而不是“1%的80%会检测为阳性”）。
甚至科学也是一种测试。从哲学层面来说，科学实验是“潜在有缺陷的测试”，需要相应地对待。有一个 测试 用于一种化学品或现象，并且有 事件 现象本身。我们的测试和测量设备有一个误差率需要考虑。
贝叶斯定理将测试结果转化为事件的真实概率。 例如，你可以：
纠正测量误差。如果你知道真实概率以及假阳性和假阴性的概率，你可以纠正测量误差。
将实际概率与测量的测试概率联系起来。 给定钼靶检查结果和已知的误差率，你可以预测阳性检测下实际患癌的概率。用专业术语来说，你可以从 Pr(E|H)（假设为真时出现证据的概率）出发，求出 Pr(H|E)（给定证据 E 时假设 H 为真的概率）。
测试剖析
文章描述了一个癌症检测场景：
- 1%的女性患有乳腺癌（因此99%没有）。
- 80%的钼靶检查能在乳腺癌存在时检测到（因此20%漏诊）。
- 9.6%的钼靶检查在乳腺癌 不 不存在时检测到它（因此90.4%正确返回阴性结果）。
放在一个表格中，概率看起来是这样的：
我们如何解读它？
- 1%的人患有癌症
- 如果你已经患有癌症，你就在第一列。你有80%的概率检测为阳性，20%的概率检测为阴性。
- 如果你没有癌症，你就在第二列。你有9.6%的概率检测为阳性，90.4%的概率检测为阴性。
测试有多准确？
现在假设你得到了一个阳性检测结果。你患癌的概率是多少？80%？99%？1%？
以下是我的思考方式：
- 好的，我们得到了阳性结果。这意味着我们在表格的顶行。我们不做任何假设——它可能是真阳性或假阳性。
- 真阳性的概率 = 患癌概率 * 检测捕捉到的概率 = 1% * 80% = 0.008
- 假阳性的概率 = 未患癌概率 * 检测仍误报的概率 = 99% * 9.6% = 0.09504
表格看起来是这样的：
刚才的问题是什么来着？哦对了：如果检测呈阳性，我们真正患癌的概率是多少？事件的概率等于它可能发生的方式数除以所有可能的结果：
获得真实阳性结果的概率是0.008。获得任何类型阳性结果的概率是真阳性概率加上假阳性概率（0.008 + 0.09504 = 0.10304）。
所以，我们患癌的概率是0.008 / 0.10304 = 0.0776，约7.8%。
有意思——钼靶检查阳性只意味着你有7.8%的患癌概率，而不是80%（测试的所谓准确率）。一开始可能觉得奇怪，但其实很有道理：该测试有9.6%的假阳性率（相当高），所以在给定人群中会有很多假阳性。对于一种罕见疾病，大多数阳性检测结果都是错误的。
让我们通过目测表格来检验一下直觉。如果取100人，只有1人会患癌（1%），而且他们很可能会检测为阳性（80%的概率）。在其余99人中，大约10%会检测为阳性，所以我们会有大约10个假阳性。考虑到所有阳性检测结果，11个中只有1个是正确的，所以阳性检测下患癌的概率是1/11。实际数字是7.8%（接近上面的1/13），但我们不用计算器就得到了一个合理的估算。
贝叶斯定理(Bayes' Theorem)
我们可以把上述过程转化为一个方程，这就是贝叶斯定理。它让你利用检测结果，纠正由假阳性引入的"偏差"。你得到事件发生的真实概率。公式如下：
以下是解读它的对照表：
- Pr(H|E) = 在阳性检测(E)条件下患癌(H)的概率。这正是我们想知道的：阳性结果下患癌的可能性有多大？在我们的例子中为7.8%。
- Pr(E|H) = 在患癌(H)条件下阳性检测(E)的概率。这是真阳性的概率，在我们的例子中为80%。
- Pr(H) = 患癌概率(1%)
- Pr(not H) = 未患癌概率(99%)
- Pr(E|not H) = 在未患癌(not H)条件下阳性检测(E)的概率。这是假阳性，在我们的例子中为9.6%。
试试任何数字：
归根结底，就是真阳性概率除以任意阳性概率。我们可以将公式简化为：
Pr(E)告诉我们获得任意阳性结果的概率，无论是在患癌人群（1%）中的真阳性，还是在未患癌人群（99%）中的假阳性。它像一个权重因子，将概率调整到更可能的结果方向。
忘记考虑假阳性(False Positive)正是使得（在检测呈阳性时）仅7.8%的患癌概率显得反直觉的原因。感谢归一化常数(Normalizing Constant)，为我们拨正方向！
直观理解：照亮光芒
文章提到了一个直观的理解：用光照射真实人群并得到测试人群。这个比喻说得通，但需要几千字才能讲明白:)。
考虑一个真实人群。你进行一些检测，这些检测“照亮”了真实人群并产生了一些测试结果。如果光完全准确，测试概率和真实概率就匹配。每个检测呈阳性的人实际上都是“阳性”。每个检测呈阴性的人实际上都是“阴性”。
但这是现实世界。检测会出错。有时患有癌症的人无法在检测中被发现，反之亦然。
贝叶斯定理(Bayes' Theorem)让我们能够审视偏斜的测试结果并纠正误差，还原出原始人群，找到真正阳性结果的真实概率。
贝叶斯垃圾邮件过滤
贝叶斯定理的一个巧妙应用是在 垃圾邮件过滤我们有
- 事件A：消息是垃圾邮件。
- 测试X：消息包含某些词语(X)
代入一个更易于阅读的公式（来自维基百科）：
贝叶斯过滤(Bayesian Filtering)使我们能够根据“测试结果”（某些词语的出现）预测一条消息真的是垃圾邮件的概率。显然，像“viagra”这样的词在垃圾邮件中出现的概率比在正常邮件中要高。
基于黑名单的垃圾邮件过滤是有缺陷的——它过于严格，且假阳性太多。但贝叶斯过滤提供了一个中间地带——我们使用 概率。当我们分析消息中的词语时，可以计算它是垃圾邮件的概率（而不是做出是/否的判断）。如果一条消息有99.9%的概率是垃圾邮件，那么它很可能就是。随着过滤器被越来越多的消息训练，它会更新某些词语导致垃圾邮件的概率。高级的贝叶斯过滤器可以连续检查多个词语，作为另一个数据点。
延伸阅读
关于贝叶斯，有很多讨论：
玩得开心！