这个 蒙提霍尔问题 是一个反直觉的统计谜题：
- 有3扇门，后面是两只山羊和一辆汽车。
- 你选择一扇门（称其为A门）。你当然希望得到汽车。
- 游戏节目主持人蒙提·霍尔检查其他门（B和C），并打开一扇有山羊的门。（如果两扇门都有山羊，他随机选择。）
游戏是这样的：你坚持选A门（最初猜测）还是换到未开的门？这有关系吗？
令人惊讶的是，几率不是50-50。如果你换门，你有2/3的时间会赢！
今天我们来直观理解 为什么 一个简单的游戏竟会如此令人困惑。这个游戏实际上是在新信息出现时重新评估你的决定。
玩游戏
你大概在嘀咕两扇门意味着50-50的概率。好吧，老兄，我们来玩这个游戏：
尝试用“选好就坚持”的策略玩50次游戏。就选门1（或2，或3），然后一直点击。点击、点击、点击。看看你的胜率百分比。你会发现它稳定在1/3左右。
现在重置，用“选后切换”的方法玩20次。选一扇门，蒙蒂会揭示一只山羊（灰色门），然后你切换到另一扇。看看你的胜率。在50%以上吗？接近60%？还是66%？
在少量试验（20次以下）中，坚持策略有可能表现不错。如果你有一枚硬币，需要抛多少次才能相信它是公平的？你可能连续两次正面就认为它有问题。只要玩几十次游戏就能平衡结果并减少噪声。
理解为什么换门有效
这是一种艰难（但有说服力）的方式，让你意识到切换是有效的。这里有一个 更简单的方法：
如果我选择一扇门并坚持，我有1/3的获胜几率。
我的第一感觉是1/3——总共有3个随机选项，对吧？
如果我无论如何都死守最初的选择，我就无法提高机会。蒙蒂可以加50扇门，炸掉其他门，跳一场伏都雨舞——都无所谓。我最初选择的最佳结果就是1/3。另一扇门必然拥有剩余的机会，即2/3。
这个解释可能说得通，但并没有解释 为什么 另一边的概率为什么会“变好”。（几位读者在评论中留下了自己的解释——如果1/3对2/3的解释还不清楚，不妨试试看）。
理解游戏过滤器
让我们看看为什么移除门会让切换变得有吸引力。想象这个变体游戏，而不是常规游戏：
- 一开始有100扇门可供选择
- 你选择一扇门
- 蒙提查看另外99扇门，找到山羊，然后打开除了1扇以外的所有门
你是坚持原来的门（1/100），还是另一扇门——它是从99扇中筛选出来的？（在模拟游戏中试试，用10扇门而不是100扇）。
这就更清楚了：蒙蒂拿走了一组99个选择，并通过移除98只山羊来 改进 它们。完成后，他为你保留了99扇中最好的那扇。
你的决定：是想要一个来自100扇门的 随机 选择（初始猜测），还是来自99扇门的 最好的 选择？换句话说，你是要1次随机机会，还是99次随机机会中最好的那个？
我们开始明白蒙蒂的行动为何能帮助我们。他让我们在一般的随机选择和经过 策划、过滤 的选择之间做决定。而过滤后的选择更好。
但……但……两个选择难道不是意味着50-50的概率吗？
克服我们的误解
认为“两个选择就是50-50的概率”是我们最大的障碍。
没错，当你了解这两个选择时，它们才同样可能。 一无所知 如果我随机挑两个日本棒球投手，问你“谁排名更高？”你根本猜不出来。你选一个听起来更酷的名字，50-50就是你最好的结果。你对情况一无所知。
现在，假设投手A是新秀，从未经过考验，而投手B连续10年获得“最有价值球员”奖。这会不会改变你的猜测？当然会：你几乎肯定会选投手B。你那不知情的朋友仍然会说这是50-50的情况。
信息很重要。
你知道得越多……
总体思路如下： 你知道得越多，你的决定就越好。
对于日本棒球选手，你比你的朋友知道得更多，因此机会也更大。是的，确实有可能 机遇 这位新秀是联盟中最好的球员，但我们这里讨论的是 概率 概率。你对旧标准测试得越多，新选择击败它的可能性就越小。
这就是100扇门游戏中发生的情况。你的第一次选择是一扇随机的门（1/100），而另一个选择是击败了其他98扇门的冠军（也就是联盟的MVP）。冠军比你选的门更好的可能性也很大。
可视化概率云
我是这样想象筛选过程的。一开始，每扇门机会均等——我把它想象成一片浅绿色的云，均匀分布在所有门上。
当蒙蒂开始移除不好的候选者（在你没选的那99扇门中）时，他“推着”那片云从坏门移向该侧的好门。如此往复——剩下的门上的云变得更绿。
经过所有筛选后，剩下你最初选的门（仍然有浅绿色的云）和“冠军门”，它发出核能般的绿光，包含了其他98扇门的概率。
关键在于：蒙蒂并没有试图改善你的门！
他故意 不 检查你的门并试图移除那里的山羊。不，他只是从邻居的草坪上“拔草”，而不是你的。
推广游戏
总原则是：随着新信息的加入，重新评估概率。例如：
贝叶斯过滤器随着获取更多关于邮件是否为垃圾邮件的信息而改进。你不想在初始训练数据集上停滞不前。
评估理论。没有任何证据时，两个理论同样可能。随着你收集更多证据（并进行更多试验），你可以提高对理论A或B正确的置信区间。统计的一个方面是确定需要“多少”信息才能对一个理论有信心。
这些是一般情况，但信息很明确：更多信息意味着你重新评估你的选择。蒙提霍尔悖论(Monty Hall paradox)的致命缺陷是 没有考虑蒙蒂的过滤认为在他筛选其他门之前和之后概率是相同的。
总结
以下是理解蒙提霍尔谜题(Monty Hall puzzle)的关键点：
- 当你对两个选择一无所知时，它们的机会是50-50
- 蒙蒂通过“过滤”另一边的错误选择来帮助我们。这是一个随机选择与另一边最好的“冠军门”之间的选择。
- 总的来说，信息越多，你就要重新评估你的选择。
蒙提霍尔悖论的致命缺陷是没有考虑蒙提的筛选，认为赛前和赛后概率相同。但目标不是理解这个谜题——而是认识到后续行动和信息如何挑战先前的决策。数学愉快。
附录(Appendix)
让我们考虑其他场景来巩固理解：
你的伙伴做了一个猜测
假设你的朋友在你选择了一扇门且蒙提揭示了一只山羊之后走进游戏——但他 不 知道蒙提使用的推理。
他看到两扇门，并被要求选一扇：他有50-50的机会！他不知道为什么一扇门比另一扇更好（但你知道）。主要的困惑是我们认为我们像我们的朋友——我们忘记（或没有意识到）蒙提筛选的影响。
Monty发狂了
蒙提揭示了山羊，然后发作了。他关上门，将所有奖品混合，包括你的门。换门有帮助吗？
不。蒙提开始筛选但从未完成——你仍然有3个随机选择，就像开始时一样。
多个Monty
蒙提给你6扇门：你选择1扇，他把其他5扇分成2个和3个一组。然后他移除山羊直到每组只剩1扇门。你换到哪一组？
原来有3扇门的那组。它有3扇门“坍缩”成1扇，因此概率为3/6 = 50%。你最初猜测的概率为1/6 (16%)，而有2扇门的那组概率为2/6 = 33%。