你终于弄懂了哪个困难概念？（对我来说，是虚数(imaginary numbers)。我永远不会忘记那个 啊哈！ 时刻。）
好。对于那个困难概念，是什么 终于 让你豁然开朗？通常是：
- 类比
- 图表
- 示例
- 友好、通俗的描述
极少是因为我们缺少：
- 技术定义
- 新技术
- 游戏化激励
- "更多时间"（我缺乏动力，而不是时间）
限制因素——阻碍我的东西——是我理解一个概念的方式。
罗马数字问题
想象你被传送到一个罗马教室。孩子们——甚至成年人——都在乘法上挣扎。（IV乘以VII真的很难！)
你会解决什么：翻转课堂？游戏化？发明印刷机来分发更多练习册？
这些最终会有帮助。但首要的解决方案应该是一个简单的讨论：
嘿，我是从未来来的。没错，那里相当不错。但首先，我们需要修正你对数字的理解。用单独的线条表示数字太繁琐了。相反，要按个、十、百等分组思考。现在乘法已经内置到数字中，算术变得容易多了。让我给你展示一下……
砰。“罗马数字问题”不是靠更好的技术解决的，而是靠更好的理解。
好。想象一下，一个时间旅行者（你，六个月后的你）今天要来辅导你。他会建议什么呢？
- 虚数： 不要试图概念化"负数的平方根"。这真的很笨拙。试着从旋转的角度来思考。
- 三角学： 不要试图死记SOH-CAH-TOA和一堆方程。可视化一个简单的图表，其中的联系就会跃然纸上。
- 微积分： 不要强迫自己硬啃epsilon-delta证明。练习分解和组合，并感受其中的模式。
- 傅里叶变换： 不要只是死记公式。内化一个 循环配方 并练习从模式到配方，再返回去的过程。
首先关注时间旅行者会解决的问题。
在起草这篇文章时，收到一条评论：
所以，我刚刚在数学课上开始学习虚数(Imaginary Numbers)，感到非常困惑。我理解了概念，但不明白实际应用，也不真正理解它是什么。我是一个需要完全理解概念的人，很难接受 i = 负一的平方根。我在谷歌上搜索，结果更困惑了。然后，我找到了你关于虚数的文章，突然就明白了。我可以把它形象化，即使没有具体的例子说明它们的重要性，我也能理解它们为什么以及如何重要。我顿悟了。这并没有让我想做加减虚数的练习题，但在明天的数学课上，我会开心很多。——Abby
看到无数关于虚数的教程没有解释负数怎么会有平方根的 根本性困惑 本质，这让我抓狂。你可以给我所有视频和互动测验，但除非你解释旋转的概念，否则我并没有真正学到东西。
这种优先级错乱随处可见：
先搞定情节，再担心特效。
先搞定食谱，再担心装饰。
先搞定旋律，再担心乐器。
先搞定类比，再担心呈现形式。
找出什么在阻碍你，然后先解决它。
数学愉快。
附录：技术作为教育解决方案
技术可以帮助解决某些限制（获取、分发、成本）。但源材料的质量仍然取决于我们自己。我宁愿读苏格拉底手写的信，也不愿和胡萝卜头开高清视频会议。
Veritasium 有一个关于这个主题的好视频（“这将彻底改变教育”）：
如果我们认为教育的限制因素仍然是分发，我们会专注于技术解决方案。
但你知道吗？莎士比亚的作品 在线 我们已经有几十年了。现代孩子应该因为免费获取优质文学而成为诗歌专家，对吧？
这已经不再是一个获取问题。这是一个动机、兴趣、热情、理解真正发生了什么的问题。让我们先解决这个问题。