有一个思考指数和对数问题的技巧。只需问两个问题：
1) 我们在谈论输入（变化的原因）还是输出（发生的实际变化）？
- 对数 揭示导致增长的输入
- 指数(Exponents) 找到增长的最终结果
2) 我们在谈论增长者的视角，还是观察者的？
- e和自然对数来自增长者的瞬时视角
- 以10为底、以2为底等是方便人类观察的单位
在脑海中，我把这些选项放入一个表格：
我的想法像是 “我需要从增长者的角度来理解原因……那就是自然对数。”. (自然对数缩写为小写 LN，源于自命不凡的 logarithmus naturalis.)
我对于课程只描述表格的内部部分、原始函数，却没有解释何时使用它们的说明感到很沮丧！
那行不通，让我们直接练习用对数和指数思考。
场景：描述 GDP 增长
这是一个典型的增长例子：
- 从2000年到2010年，美国GDP从9.9万亿美元变为14.4万亿美元
好的，这些数字确实显示了变化的发生。但我们可能想了解原因：什么样的平均年增长率会导致这种变化？
我立刻想到“对数”，因为我们是从增长逆向推导引起它的速率。我这样开始思考：
好的开始，但让我们更精确一些。
首先，应该用哪个对数？
默认情况下，我选择自然对数。大多数事件最终是以增长者（而非观察者）的角度来衡量的，我喜欢“伴随”增长元素来可视化正在发生的事情。（弧度类似：它们以运动者的角度测量角度。）
下一个问题：我们将对数应用于什么变化？
我们实际上只关心起点和终点之间的比率：10年内从9.9万亿到14.4万亿。这与在同一时期从9.90美元到14.40美元的增长相同。 速率 在同一时期从9.90美元到14.40美元。
我们可以更精确地思考：
好的，原因是0.374或37.4%的速率。我们完成了吗？
还没有。对数不知道变化持续了多长时间（我们没有输入10年，对吗？）。它们给出的速率假设所有变化发生在单个时间段内。
变化确实可以是单个年份37.4%的连续增长，或者是2年每年18.7%的增长，或其他组合。
根据场景，我们知道变化花了10年，所以速率必须是：
从瞬时连续增长的角度看，美国经济每年增长3.74%。
我们现在完成了吗？还没有！
这个连续速率是从增长者的视角来看的，就好像我们“伴随”经济变化。银行家可能关心人类友好的逐年差异。我们可以通过让连续增长运行一年来计算：
由于复利效应，逐年增长率为3.8%，略高于3.74%的瞬时速率。另一种说法是：
- 从瞬间看，经济的某一部分以3.74%的速率增长，模型为$e^(.0374 * years)$
- 按年计算，考虑复利效应后，经济增长3.81%，模型为$1.0381^years$
在金融领域，我们可能想要可以与其他趋势良好比较的逐年变化率。在科学和工程领域，我们更倾向于基于瞬时速率对行为建模。
场景：描述自然增长
我讨厌像“假设细菌每24小时翻倍，找到其增长公式”这样人为的例子。细菌菌落会在干净的人类时间间隔内繁殖吗？我们会等待恰好翻倍吗？
一个更好的场景：“嘿，我发现了一些细菌，等了一个小时，菌团从2.3克长到了2.32克。我现在要去吃午饭了。请算出3小时后我回来时会有多少。”
让我们来建模。我们需要一个对数来找到增长率，然后用一个指数来预测未来的增长。像之前一样，我们先全部用自然对数来表示。
增长因子是：
这是每小时的变化率，而用于预测未来的通用模型将是
如果我们从2.32开始，增长3小时，我们将得到：
顺便问一下，细菌需要多久才能翻倍？想象一下从1变成2：
我们可以机械地取两边的自然对数来“解除指数”，但让我们直观地思考一下。
如果2是最终结果，那么ln(2)就是让我们达到那个结果的增长输入（某个比率×时间）。我们知道比率是.0086，所以到达2所需的时间是：
菌落大约在80小时后翻倍。（庆幸你没一直等着吧？）
视角转变的真正含义是什么？
弄清楚你想要的是输入（增长的原因）还是输出（增长的结果）是相当直接的。但如何从生长者的角度来可视化呢？
想象一下，我们有小工人在构建最终的生长模式（参见 关于指数的文章):
如果我们的增长率是100%，我们告诉初始工人（蓝先生）稳步工作，并在年底前制造出他自己的100%副本。如果我们每天跟踪他，我们看到他在年底确实完成了自己的100%副本（绿先生）。
但是……他正在建造的那个工人（绿先生）也开始工作了。如果绿先生在6个月时首次出现，他有半年的时间工作（与蓝先生相同的年增长率），他建造了红先生。当然，红先生只完成了一半，因为绿先生只有6个月。
如果绿先生在4个月后出现呢？一个月？一天？一秒？如果工人立即开始生长，我们就会得到由$e^x$定义的即时曲线：
自然对数从单个工人的角度给出了一个增长率。我们将该比率代入$e^x$来找到最终结果，包括所有的复利。
使用其他基数
切换到另一种对数（以10为底、以2为底等）意味着我们在寻找整体增长中的某种模式，而不是单个工人在做什么。
每个对数在看到变化时都会问一个问题：
- 以e为底的对数：每个工人遵循的瞬时速率是多少？
- 以2为底的对数：需要多少次加倍？
- 以10为底的对数：需要多少次10倍增长？
以下是一个可以分析的情景：
- 在30年间，典型芯片的晶体管数量从1000增长到10亿
你会如何分析这个？
- 微芯片并非一个随时间平稳增长的单一实体。它们是来自不同竞争公司的独立版本，反映了一种普遍的技术趋势。
- 既然我们不是“伴随”一个扩展的微芯片，那就使用一种为人类便利设计的尺度。翻倍比增长10倍更容易思考。
根据这些假设，我们得到：
“增长的起因”是20次翻倍，我们知道这发生在30年内。平均每年翻倍2/3次，即每1.5年翻倍一次——一个很好的经验法则。
从种植者的角度来看，我们将计算 $\ln(\text{10亿}/1000) / \text{30年} = 46\%$ 的连续增长（在这种情境下较难理解）。
我们可以将分析总结成一张表：
总结
学习就是找到一个概念背后的隐藏说明。它在何时使用？它为解决什么问题带来了什么视角？
我当前的解释是指数询问了原因与结果、种植者与观察者之间的关系。但我们永远学不完；乐趣之一在于看看我们如何重新诠释旧概念。
数学愉快。
附录：换底公式
以下是关于换底的思考。假设100%的连续增长率，
- ln(x) 是增长到 x 所需的时间
- ln(2) 是增长到 2 所需的时间
由于我们知道翻倍所需时间，我们可以看出在总时间内“容纳”多少次翻倍才能增长到x：
例如，从1到64发生了多少次翻倍？
嗯，ln(64) = 4.158。而ln(2) = 0.693。能容纳的翻倍次数是：
在现实中，计算器可能会丢失精度，所以如果可能的话，直接使用以2为底的对数函数。当然，我们可以有分数次：从1到2的平方根是“半次”翻倍，或log2(1.414) = 0.5.
改成以10为底的对数意味着我们在计算能容纳多少次10倍增长：
很巧妙，对吧？ 在现实世界中使用对数 阅读更多例子。