当我们绘制函数 $f(x)$ 的图像时，有几种方法可以修改它：
使用 $f(ax + b) + c$ 代替 $f(x)$ 有几个效果：
- a似乎压缩了函数
- b使我们左右滑动
- c使我们上下移动
- Desmos上的交互式示例
这是怎么回事？嗯，我们是在描述图像上的视觉结果，但并没有描述引起变化的基础过程。让我们来看看根本原因。
f(ax)是快进
f(ax) 中的 "a" 是一个快进因子。通常，我们体验时间的方式是“每分钟一分钟”——每等一分钟，世界就向前推进一分钟。
如果我们看到快进的生活呢？
在这里，我们（在我们的“x”时间线上）经过1分钟意味着现实世界中过去了2分钟。或者是10分钟、一小时或一年。
在我们的时间线（x）上，时间正常流逝。但决定我们所见结果的函数被输入了一个修改过的时间线。当我们悠闲地从 x=1 漫步到 x=2 时，f 必须从 f(10) 跳到 f(11)、f(12)……一直到 f(20)。在这里，f 需要在我们随意等待一分钟的时间里绘制 10 分钟的事件。将更多数据点塞进相同的时间段会导致一个被压缩、加速的图像。
直观地说，“压缩图像”实际上意味着“让时间运行得更快”。
f(x + b) 是一个偏移量
一种更简单的时间旅行是基本的平移。如果事情发生 提前 偏离计划，那是什么意思？
想象一个德国/日本城市，那里的火车提前一小时运行。
下午4点的火车在下午3点到达。上午11点的航班在上午10点起飞。换句话说，一个反乌托邦的地狱景象。
如果我在到达时没有着火，我会这样描述情况：
- 实际时间：上午10点
- 起飞航班：上午11点
- 航班 = 实际 + 1
换句话说，f(x + 1) 意味着事情提前了。我们认为现在是下午3点 (x=3)，但下午4点的事件正在发生 [f(4) 正在发生]。
同样，这可能有点棘手：我们移除时间让事情更早发生，难道不觉得奇怪吗？这是我们的视觉直觉在欺骗我们：如果现在是下午3点，但 f 正在运行下午4点的事件，那么它是在提前进行。注意，我们 增加 给我们的手表增加时间才能早到。)
将“向左滑动”理解为“提前”。
f(x) + c 是一个偏置
给函数加上一个值会使其垂直移动。
发生了什么？在 f(x) 不知情的情况下，我们取最终结果并使其变大。
直观上，我们有一个“偏置”。当 f(x) = 0 时，它告诉我们“不要改变，保持在0”。但是我们的默认值不是零，而是 c。当 f(x) 说不改变时，意思是“使用你的默认值 c”。
将“向上滑动函数”理解为“改变默认值”。
(在神经网络中，如果没有输入，你可能有一个默认值。“默认偏置”是一个很好的描述方式，相比“垂直滑动函数”。)
附录：链式法则
在微积分中，链式法则让我们可以组合函数。(把一个函数塞进另一个函数的花哨说法。)
当我们把 2x 塞进 正弦，并求导数时，得到：
链式法则告诉我们先求外层函数的导数 (sin(2x) => cos(2x))，再乘以内层函数的导数 (2x => 2)。
这是怎么回事？使用“导数=斜率”的解释（不是 我最喜欢的 但对作图来说很好），我们看到：
如果我们选取循环上的一个点（比如 x = 1 弧度），我们得到该点的斜率为
换句话说，在 x=1 处，sin(x) 有一个大约54%的上坡斜率。好，不错。
现在，如果我们以两倍速度运行 sin(x) 会发生什么？吃，吃，吃！
嗯……导数（我们看到的斜率）应该加倍！与原始函数相比，sin(2x)经历变化的速度是我们速度的两倍。我们世界中的1分钟意味着sin(2x)已经吞噬了2分钟的变化。
在周期中的 对应点 处，我们预期斜率会加倍。让我们确认一下。
不再询问x=1，我们知道sin(2x)时间线上的同一点现在是x=0.5。所以让我们求该点的导数：
耶，数学验证成立！
我们可以从机械上描述链式法则为函数组合的一种方式。但直观上，我们在函数内部绑定了一个快进装置，加速了我们所经历的变化。
普通的sin(x)将其导数保持在-1.0到+1.0之间，这是cos(x)施加的限制。但现在我们有了一个快进技巧，可以使sin(x)以我们想要的任何速度移动。
额外思考：假设我们不是以固定的速度2快进，而是随着进程的推进加速越来越快？这样的函数可能是sin(x * x)，其中一个x是我们周期中的常规位置，另一个x是我们的快进速率。为了好玩（是的！），你可以求sin(x * x)的导数（答案).
附录：指数函数
我们可以通过$e^{x + b}$让指数函数($e^x$)提前运行。
但我们可以将其重写为：
换句话说，将 指数函数 "提前"视为具有更大起始点的常规指数函数。
普通的指数函数从1.0开始并连续复利。相反，我们可以将其视为从比1.0更大的起始值开始。（例如，$e^{x + 2}$从$e^2 = 7.389$开始复利。）
根据函数的不同，"提前"之外的解释可能更有意义。
数学愉快。