摘要： 经过两次简化，二次公式变为 $x = -b \pm \sqrt{b^2 - c}$：约去 $a$，并利用线性项悬垂部分的“半径”。
标准的二次公式很难记住：
它是由数字、字母和平方根组成的迷宫。它来源于对一般二次方程($ax^2 + bx + c = 0$)的“配方”。有 几个 好的 解释 对于标准公式，以下是我对一种变体的直觉理解。
步骤1：消去A
这是我们典型的起始方程：
首先，为什么要让 $a$ 闲逛？把它除出去，得到：
事实上，假装 $a$ 从未存在。在进行任何其他工作之前，你会合并同类项($3x + 4x = 7x$)，对吧？类似地，要求 $x^2$ 在开始求解之前单独出现(没有系数)。
除以 $x^2$ 的任何系数后，我们的方程形式为：
啊，这是一个更好的起点。
(注意：$b$ 和 $c$ 是我们表示所有简化后的系数的符号。例如，从 $3x^2 + 6x + 9 = 0$ 开始并简化为 $x^2 + 2x + 3 = 0$ 时，我们指定 $b=2$ 和 $c=3$。)
步骤2：可视化面积
戴上我们的几何眼镜，假设我们的二次方程指的是面积：
一个持续的洞见是，数学没有维度或单位——只有原始数量。我们可以 决定 在这种情况下，每个量都指的是一个二维图形的面积：
- $x^2$ 是我们的正方形 ($x * x$)
- $bx$ 是矩形的悬挑部分 ($b * x$)
- $c$ 是一个独立于 $x$ 的偏移量 ($c * 1$)
求解方程意味着：长度 $x$ 为多少时，正方形、悬垂部分和偏移部分抵消为零？
没有偏移时 ($x^2 + bx = 0$)，抵消总面积很容易：只需令 $x = 0$ 或 $x = -b$，这会使矩形的一边或另一边塌缩。（注意 $x$ 可以具有 负的 长度，以抵消悬垂部分的宽度。）
但那个偏移让我们做了额外的工作。
步骤3：配方
抵消偏移的技巧是配方（completing the square）。首先，我们将悬垂部分的一半移到正方形的顶部：
接下来，我们从零银行借入以填充角落：
这部分很神奇。如果我们承诺稍后取消它，我们可以凭空变出任何量 (0 = 1 - 1)。因此，我们借入材料来完成正方形，然后再减去它：
然后我们可以将额外的部分移到另一边：
让我们填入一些具体细节。角落有多大？悬垂部分的一半 ($\frac{b}{2}$) 的平方。是时候做一些代数了：
![{\begin{aligned}
x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2 &= (\frac{b}{2})^2 - c \\ \\
(x + \frac{b}{2})^2 &= (\frac{b}{2})^2 - c & \text{[rewrite as square]} \\ \\
x + \frac{b}{2} &= \pm \sqrt{(\frac{b}{2})^2 - c} & \text{[take square root]} \\ \\
x &= -\frac{b}{2} \pm \sqrt{(\frac{b}{2})^2 - c} & \text{[subtract partial overhang]}
\end{aligned}}](../../wp-content/plugins/wp-latexrender/pictures/56454df8e3955905cc0a8ec9e8199cd9.png)
看！这是一个……稍微不那么复杂的二次公式。
步骤4：利用悬垂半径
这个方程比二次公式简单，但仍然有点棘手。
$b$ 是整个悬垂部分的宽度，$\frac{b}{2}$ 是我们移动的部分。既然这是计划，为什么不按照我们想要的部分来写呢？令 $b$ 为悬垂部分的一半：
这意味着我们的起始方程可以写成：
$x^2 + 2bx + c = 0$
其中 $b$ 现在是悬垂部分的“半径”（不是整个直径）。配方并求解得到：
相当简洁！
示例问题
让我们解这个方程：
我的思路：首先，将所有项除以 3。没有必要让东西闲置。
接下来，让我们找出悬垂部分的半径。整个线性系数是 2，所以半径是 1。使用半径公式，我们得到：
相当快，对吧？
并且要 因子 方程（将其写为一组乘法）我们做：
（用...验证 wolfram alpha: 3x^2 + 6x + 24 的根 )
应该使用哪个版本的公式？我宁愿在简单方程上使用简单公式，也不愿在复杂方程上使用复杂公式。
附录：其他想法
不要害怕重写方程
标准二次公式很好，但我发现很难记住。谁说我们不能修改方程以适应我们的思维？像“从方程中移除 $a$”和“使用半径而非直径”这样的想法简化了事情，而像“正方形、悬垂、偏移”这样的昵称使各部分易于记忆。
实际上，我们经常记住给定的方程，但这并不意味着你不能尝试一个对你有意义的版本。
为什么根是负数?
以负号开头的公式似乎很奇怪：
通常，我们需要负长度来抵消悬垂所增加的面积，并使面积归零。根据 $a$、$b$ 和 $c$ 的值，解可以是正数、负数、零或复数。
什么是负面积？
这在讨论中似乎被忽视了，但在配方法中我们可能有“负”面积。负面积是由...的边产生的 虚数长度.
与其用正负面积，我更喜欢思考颜色（绿/红）。绿色面积是正的，具有实数边（生长作物的健康土地）。红色面积是负的，具有虚数边（毒地？）。数学成立（$3i \cdot 3i = 9 i^2 = 9(-1) = -9$），但我们的几何概念可能需要一些升级。
从二维到一维的转换
另一个顿悟时刻是意识到当我们取平方根时发生了什么。我们将解释从二维变回一维：
取平方根就像看我们的形状 侧向地 并比较所得的长度。方程没有固定的维度——只是对数量的解释——但我喜欢这种视角转换。我们当中缺乏想象力的人可能将配方法视为纯粹的符号操作。
数学愉快。