多项式的直觉(Intuition)

多项式就是你在学校里被迫学习的那些长方程：

$\displaystyle{f(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + ... }$

我们有一堆系数（$c_0, c_1...$）乘以$x$的各个幂次。

为什么我们被迫学习它们？以下是我希望当时能有的见解。

多项式使数字更易读

这里有多少条线？

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当然是123。哦，你可能更喜欢这个数字的多项式形式：

$\displaystyle{123 = 100 + 20 + 3 = (1)10^2 + (2)10^1 + (3)10^0}$

数字"123"只是10的各个幂次的系数，从大到小排列。这种通过相加10的幂次来计数的"简单"想法相当具有变革性，对吧？

我们甚至可以切换进制。对于任意进制，"123"的通用解释是：

$\displaystyle{\text{function123}(x) = 1x^2 + 2x + 3}$

我们已经熟悉十进制，所以将系数"123"转换为我们能理解的数量。对于十六进制数，我们代入$x=16$并计算出$(1)16^2+(2)16+(3)16^0=291$。

严格来说，123.4 涉及负指数，因为 $0.1 = 10^{-1}$。不过，多项式(polynomials)的原始概念为我们提供了一个良好的起点，比在沙地上划线计数要好。

多项式将简单算术整合在一起

想象你正在为一个懒得用计算器的人做笔记。他们可能会说：

"取数字15。实际上，加3。乘以7。现在再乘以原来的数字。"

作为算术，你可能会写出：

$\displaystyle{((15 + 3) \times 7) \times 15 }$

这是一个精确的表达式，带有具体的数字。但也许你的朋友犹豫不决。

使其更通用——以任意起始数字——我们会写出：

$\displaystyle{((x + 3) \times 7) \times x = (7x + 21)\times x = 7x^2 + 21x }$

注意，所有中间步骤都被简化为两项。一个多项式(polynomial)！

不要想“我什么时候会看到这个方程”，而是想“这个方程是一系列算术的简化版本”。这些步骤看起来并不相似（“加3”的部分在哪？）但多项式将所有内容精炼到本质。

因此，另一个重要见解：我们并不总是需要求解一个多项式，我们可以用它来简化多个阶段的算术。

但是……既然它已经是方程形式，我们可以解它。如果我们想的话。因为这看起来像是一件数学的事。

假设我们想知道这个过程何时达到100。那会是什么输入数字？

$\displaystyle{7x^2 + 21x = 100}$

解这个方程得到 $x = -5.56$ 和 $x=2.56$。（是的，在现实世界中我们可以使用工具来解方程；钻研二次公式是另一天的直觉。）

多项式比任意函数更容易研究

最大的惊喜是多项式(polynomials)是算术的精简版本，假设你只能：

加/减/乘/除一个常数，或者：
乘以原始数 x

严格来说，多项式不允许平方根($\sqrt{x}$)或可变指数($2^x$)，只允许上述简单运算。

为什么这样限制自己？嗯，我们可以看看能走多远。

线性代数限于线性函数(linear functions)，但即使如此，如果我们把足够多的它们串联起来，也能模拟复杂行为。

类似地，多项式很简单，但通过 足够的项 我们可以模拟相当复杂的行为。简单的结构给了我们几个不错的性质：

多项式进行加法/乘法运算后仍为多项式
用多项式的根 $(x - r)$ 去除多项式，得到另一个多项式（类似于用复合数的因子去除它）
将一个多项式代入另一个多项式 $f(g(x))$
多项式的导数/积分仍是多项式，便于优化

多项式就像整数——比实数简单，但仍然有用。

多项式追踪相互作用

$x$ 是什么意思？嗯，它是一个数字，一个量，我们想要表示的东西。

$x \cdot x = x^2$ 是什么意思？它表示一个 相互作用：一个量与自身的相互作用。在长度与长度相互作用的情况下，结果是面积：长度 * 长度 = 平方单位。或者，我们可以有速度与时间相互作用得到距离：30 英里/小时持续 30 小时得到 900 英里。

一个大发现：数学不关心单位。多项式负责记账，以展示那个像 $x \cdot x$ 这样的相互作用发生了，还有普通的 $x$ 和 $x^{17}$。

在物理学中，你不能合理地写出 $3cm + 5cm^2$，因为单位的幂次不匹配。你不能写出 $3 cm + 5kg$，因为单位的类型不匹配。

但数学不关心。数字就是数字，"1 + 2*2 = 5" 是成立的，尽管 "2 乘以 2" 表示一个相互作用。

多项式是一个通用记账系统，我们可以把 任何东西 扔进汤锅里。它会好吃吗？那不是多项式的问题。你会得到一个公式，然后决定用它做什么——如果有的话。

多项式是函数内部的DNA

给定一个输入 $x$，多项式展示了当我们对该输入进行大量算术运算时会发生什么。

似乎，如果我们拨动足够多的杠杆，就能让该多项式表现得像我们选择的几乎任何模式。

你答对了：这就是泰勒级数.

有了足够多的项，我们谦逊的多项式——由 基本算术 组成——可以模拟起伏的正弦波和其他让学生做噩梦的东西。

多项式中的每一项都让我们更接近原函数的近似：

我们可以分析多项式中的系数，提取函数内部的 "DNA"：

$\displaystyle{ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots \xrightarrow{DNA} [0, 1, 0 -1, \dots] }$

$\displaystyle{ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots \xrightarrow{DNA} [1, 0, -1, 0, \dots] }$

$\displaystyle{ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \xrightarrow{DNA} [1, 1, 1, 1, \dots] }$

如果系数中的模式相似，那么这些函数很可能相关。

回到十进制类比：12 和 120 是相似的，但只有当我将它们写成 "十进制多项式" 时才明显。如果我把 12 和 120 颗彩虹糖撒在地上，你不会注意到两堆之间有任何明显的联系。嗯，其中一堆可能看起来稍微更有食欲。

多项式将加法转化为乘法

数学中的一个重要见解——称为代数基本定理——是多项式可以重写为一系列乘法.

也就是说，将 $x$ 的幂相加可以也看作是 $x$ 与各种偏移量的乘法：

$\displaystyle{f(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + ... = (x - a_1)(x - a_2)(x - a_3)}$

根的个数（$a_1, a_2, a_3$）与 $x$ 的最高幂次相同（根可以重复使用）。

为什么这很重要呢？嗯，除了令人难以置信的惊讶之外（相加幂可以转化为乘法），它还使得解方程变得容易得多（参见：我们为什么要对方程进行因式分解？).

简言之，如何满足这个方程并不是显而易见的：

$\displaystyle{x^2 + 4x = 12}$

想猜答案吗？代入 $x$，它出现在需要平衡的各个项中。但下面这个方程呢：

$\displaystyle{(x + 6)(x - 2) = 0}$

这是相同的场景，被分解为乘法形式。如果任意项为零，整个乘积就为零，问题就解决了。只需选出 $(x + 6)$ 或 $(x - 2)$，使其为零（$x = -6$ 或 $x = 2$），我们就解开了谜题。

还记得 "123" 实际上是一个多项式吗？有趣的是，使用那该死的二次方程求根公式，我们可以对其进行因式分解:

$\displaystyle{\text{function123}(x) = 1x^2 + 2x + 3 = (x + 1 + i\sqrt{2})(x + 1 - i\sqrt{2})}$

这意味着什么？如果我们使用一个复数基，就可以让数字 "123" 等于零！虽然你不会真的去想要 ……但这是可能的。

多项式易于优化

多项式很简单：只是 $x$ 的一些幂次。这意味着在微积分中很容易使用幂法则来求导数，并找到最小值/最大值。

反过来也成立：我们可以取一组数据点，拟合一个多项式，并估计序列的最小值/最大值。项数越多，精度越高（但要注意过拟合）。

简单的结构有其优势。

继续前进

多项式通常让人想起二次方程，或者那些硬套进应用题中的方程。呃，我们跳过这些吧。

多项式是从算术到代数再到微积分的一种简单而强大的模型。它们就像两位数数字一样适用于“现实世界”。

数学愉快。

多项式(Polynomials)的直观理解