代数是关于什么的？当学习变量（$x, y, z$）时，它们似乎“隐藏”了一个数字：
$x$ 中隐藏了什么数字？在这个例子中是2。
似乎算术仍然有效，即使我们事先没有确切的数字。之后，我们可能会以复杂的方式安排这些“隐藏的数字”：
哇——有点难解，但有可能。今天我们来弄清楚因式分解是如何工作的以及为什么它有用。
多项式
当我们写出像 $x^2 + x = 6$ 这样的多项式时，我们可以从一个更高的层面来思考。
我们有一个未知数 $x$，它与自身相互作用（$x * x = x^2$）。我们加上原来的数（$+ x$），结果是 6。
$x^2$、$x$ 和 6 都是“数”，但现在我们追踪它们是如何构成的：
- $x^2$ 是一个自交互的组件
- $x$ 是一个独立的组件
- 6 是我们希望整个系统达到的期望状态
交互完成后，我们应得到 6。隐藏在这个 $x$ 中能让等式成立的是什么数呢？
嗯——这有点棘手。所以让我们用我们自己的技巧来对抗：我们可以创建一个 不同的 系统来跟踪原始系统中的误差（这有点烧脑，请坚持住）。
原始系统是 $x^2 + x$。目标状态是 6。新系统：
将跟踪 差异 原始系统和目标状态之间的差异。我们什么时候最开心？当没有差异时：
啊！ 那是 这就是为什么我们对将多项式设为零如此感兴趣！如果我们有一个系统和目标状态，我们可以创建一个新的方程来跟踪差异——并努力使其为零。（这比简单的“两边同时减去6”更深刻——我们是在描述误差！）
但是……我们究竟如何让误差归零？它仍然是一堆杂乱的部分：$x^2$、$x$ 和 6 飞来飞去。
因式分解那个 Mamma Jamma
因式分解来拯救。我的直觉：因式分解让我们能够将一个复杂的系统（$x^2 + x - 6$）重新排列成一系列相互关联的小系统。
想象一下把一堆棍子（我们杂乱无章的系统）立起来，让它们互相支撑，就像一个锥形帐篷：
/\
（这是一个二维的例子，有两根棍子。）
拿走任何一根棍子，整个结构就会倒塌。如果我们可以将我们的系统：
重写为一系列乘法：
我们就将棍子放在了一个“锥形帐篷”中。如果组件 A 或组件 B 变为 0，结构就会倒塌，结果就是 0。
太棒了！ 那个 这就是因式分解厉害的原因：我们把误差系统重新排列成一个脆弱的圆锥帐篷，这样就可以 分解 它。我们会找到消除误差并使系统达到理想状态的东西。
记住：我们正在破坏 误差 系统中的（组件），而不是系统本身。
开始因式分解
学习“因式分解方程”就是搭建圆锥帐篷的过程。在这个例子中：
如果 $x = -3$，组件A就会倒下。如果 $x = 2$，组件B就会倒下。任何一个值都会导致误差崩溃，这意味着我们的 原始系统 （$x^2 + x$，我们几乎忘记的那个！）满足要求：
- 当 $x = -3$ 时，误差消失，我们得到 $(-3)^2 + -3 = 6$
- 当 $x = 2$ 时，误差消失，我们得到 $2^2 + 2 = 6$
综合应用
我长期以来一直思考因式分解的真正目的。在代数课上，方程被方便地设为零，我们不知道原因。在现实世界中，情况是这样的：
- 定义模型： 写出系统行为（$x^2 + x$）
- 定义期望状态： 它应该等于什么？(6)
- 定义误差： 错误是它自己的系统：误差 = 实际 - 期望（即 $x^2 + x - 6$）
- 分解误差： 将误差改写为互锁组件：$(x + 3)(x - 2)$
- 将误差归零： 将其中一个组件归零（$x = -3$ 或 $x = 2$）。
当误差=0时，我们的系统必须处于期望状态。这样就完成了！
代数非常有用：
- 我们的系统是一条轨迹，“期望状态”是目标。哪条轨迹击中目标？
- 我们的系统是小部件销售，“期望状态”是收入目标。多少收益达到目标？
- 我们的系统是游戏获胜的概率，“期望状态”是五五开（公平）的结果。什么设置使其成为公平游戏？
“将系统匹配到其期望状态”的想法只是 一 对因式分解为什么有用的一种解释。如果你有更多想法，我很想听听！
附录(Appendix)
该过程的速查表：
更多值得思考的内容：
乘法通常是 视为与。组件A必须在，并且组件B也必须在。如果任一条件为假，系统就会崩溃。
代数学基本定理证明，你的“组件”数量等于最高次多项式的次数。如果最高次项是$x^4$，那么你可以因式分解成4个相互锁定的组件（改天再讨论）。但这应该说得通：如果你将一个“$x^4$系统”重写为乘法，那么不应该有4个单独的“$x$组件”相乘吗？如果有3个，你永远得不到$x^4$；如果有5个，你会超出，得到一个$x^5$项。
你是否有现实世界中的系统处于“圆锥帐篷”布局，其中单个组件失效会导致整个结构倒塌？
二次公式可以“自动破坏”任何含有$x^2$、$x$和常数组件的系统。对于复杂的系统（含有$x^3$、$x^4$甚至某些$x^5$组件）也有公式，但开始变得有点疯狂。
有没有办法防止系统出现这些弱点？（不可因式分解？不可归零？）。别忘了，我们曾认为像$x^2 + 1$这样的系统是“不可归零”的，直到 虚数 出现了。
数学愉快。