乘法是一种奇妙的小运算。根据上下文，它可以
而今天我们将看到另一种用途： 列出组合.
重新审视乘法有几个用处：
- 它揭开了数学其他部分的神秘面纱。二项式定理、布尔代数（用于计算机电路）甚至微积分部分内容，通过“乘法”的新解释变得更简单。
- 它让我们的头脑保持活跃。数学为我们提供了可操作的模型，很高兴看到同一个模型有多种用途。一旦你理解了“作为锤子”的真正本质，即使扳手也能钉钉子（非常禅意，是吧？).
你在小学学到的长乘法非常有用：例如，我们可以找出多次掷硬币的可能性。让我们看看。
你一直都在做组合(Combination)
如何计算12 × 34？没关系，你可以在纸上做：
“嗯，让我想想……4乘以12是48。3乘以12是36……但它是左移一位，所以是360。48加360等于……呃……进位1……408。呼。”
不错。但与其一次做12 × 34，不如分解步骤：
发生了什么？嗯，4 × 12实际上是“4 x (10 + 2)”或“40 + 8”，对吧？我们可以将第一步（蓝色）视为两个独立的乘法（4×10和4×2）。
我们太习惯于合并和进位，以至于合并了步骤，但它们确实存在。（例如，4 × 17 = 4 x (10 + 7) = 40 + 28 = 68，但我们通常不会这样分解它。）
类似地，红色步骤中的“3 × 12”实际上是“30 × 12”——毕竟3在十位上。我们得到“30 x (10 + 2)”或“300 + 60”。同样，我们可以将数字拆分成两部分。
这跟组合有什么关系？别急，你很快就会明白。
可恶，又失败了
仔细看看发生了什么：12 × 34 实际上是 (10 + 2) x (30 + 4) = 300 + 40 + 60 + 8。这种分解看起来很像代数方程 (a + b) * (c + d)：
是的，正是如此！在这两种情况下，我们都在将一个“组”乘以另一个组。我们取出红色组中的每个元素（10和2），并将其与蓝色组中的每个元素（30和4）组合。我们不混合红色组内的元素，也不混合蓝色组内的元素。
这种组合技术通常被称为 FOIL (首内尾外, first-inside-outside-last)，让孩子们头疼不已。但这并不是什么神奇的操作！这只是将事物排列在网格中而已。 FOIL 已经内置在我们的乘法方式中！
在做竖式乘法时，我们“知道”不应该交叉相乘：你不会做1×2，因为它们在相同行。类似地，你不会做a×b，因为它们在相同括号内。我们只做“上下”相乘——也就是说，需要从顶行取一个元素（1或2，a或b）和从底行取一个元素（3或4，c或d）。
日常乘法（也称为 FOIL）为我们提供了一种生成两组组合的方式：一组来自组A，另一组来自组B。有时将所有可能性表示为方程很不错。
例子让人豁然开朗
让我们举个例子。假设我们想找出抛两次硬币的所有组合。有几种方法可以做到，比如使用网格或决策树：
这没问题，但让我们换一种方式。我们可以将问题转化为一个 方程 使用以下规则：
- 加法 = OR。我们可以得到正面或反面：(h+t)
- 乘法 = AND。我们有第一次抛掷 AND 第二次抛掷：(h+t) * (h+t)
哇！这是如何工作的？
嗯，我们实际上只想生成组合，就像做 (a+b) * (c+d) = ac + bc + ad + bd。仔细看，这种格式意味着我们选择 一个 或 b，并将其与之一组合 c 或 d.
当我们看到加法 (a+b) 时，我们知道这意味着我们必须选择一个变量：这个或那个。当我们看到乘法 (group1 * group2) 时，我们知道这意味着我们从每个组中各取一个元素：这个 AND 那个。
速记法“AND = 乘”和“OR = 加”只是描述 关系 方程内部的一种方式。（注意：当我说三百零四时，大多数人会想到304，这也是对的。这个 AND/OR技巧在以下情境中有效： 描述组合).
所以，说到底，我们可以把句子“(正面或反面) AND (正面或反面)” 转化为：
而且为了好玩，我们把它乘开：
结果“h2 + 2ht + t2”展示了所有可能性，就像网格图和决策树一样。每个组合的大小（系数）表示它可能发生的方式数：
- h^2：有一种方法得到两个正面（h2 = hh = 正面 AND 正反面)
- 2ht: 有两种方式得到一正一反 (ht, th)
- t^2: 有一种方式得到两反 (tt)
太棒了。系数之和为 1 + 2 + 1 = 4，即总可能性数。恰好得到一个正面和一个反面的概率是 2/4 = 50%。我们不需要树状图或网格图就得到了这个结果——常规乘法就搞定了！
网格？树？我脑子里就想明白了。
好吧，高手，让我们扩大范围。抛 4 次硬币，恰好得到 2 个正面和 2 个反面的方式有多少种？得到 3 个或更多正面的概率是多少？
我们的句子变成了：“(正面或反面) AND (h 或 t) AND (h 或 t) AND (h 或 t)”
看结果（看起来复杂，但 有捷径可循），有 6 种方式得到 2 个正面和 2 个反面。总共有 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 种可能性，所以抛 4 次硬币得到“平衡”结果的概率只有 6/16 = 37.5%。（有点令人惊讶，出现不均匀的概率 可能性大得多 比均匀的概率大）。
那么得到 3 个或更多正面的方式有多少种？嗯，这意味着任何包含 h3 或 h4的项：4 + 1 = 5。所以得到 3 个或更多正面的概率为 5/16 = 31.25%。
有时方程比网格图和树状图更好——看看我们在一行中塞进了多少信息！当你手上有一个计算器或计算机时，公式非常有用。
但最重要的是，我们的工具箱中又多了一个工具： 我们可以将可能性写成方程，并用乘法寻找组合。
接下来去哪？
数学中有几个领域受益于以这种方式看待乘法：
二项式定理(Binomial Theorem). 这个听起来吓人的定理将 (h+t)^n 与系数联系起来。如果你够聪明，你会发现你可以用 组合与排列 来确定指数，而不必把整个方程乘出来。这就是二项式定理(Binomial Theorem)的作用。我们稍后会详细介绍——这个定理出现在很多地方，包括微积分(Calculus)。
布尔代数(Boolean Algebra)。计算机极客喜欢将像 OR 和这样的条件 AND 转换成数学语句。这种 AND/OR 逻辑在设计计算机电路时使用，用方程（而不是图表）表达可能性非常有用。这种技术的花哨名称是布尔代数(Boolean Algebra)，我们也会留到以后再说。
微积分。微积分从这种解释中获得了双重好处。首先，二项式定理使处理像 x^n 这样的方程变得容易得多。其次，微积分的一个视角是乘法的“展开”。今天我们练习了思考乘法不仅仅是“重复加法”。（“12 × 34″ 表示 12 组 34，对吧？）
更高级的组合。假设你有 3 位客人（Alice、Bob 和 Charlie），他们分别带来汽水、冰淇淋或酸奶。有人敲门——可能性有多少？(a + b + c) * (s + i + y)。这个方程包含了所有可能。
所以，你终究可以教会乘法这样的老狗新把戏。其实，这些把戏一直都在——就像发现 Fido 一直用摩斯密码在吠叫诗歌。
而且仔细想想，也许 我们是那个动物 学会了一个新把戏。诗歌就在那里，直盯着我们，我们却没有认出它（12 × 34 基于组合！）。我知道，在看到组合与普通乘法实际上是多么相似之后，我也有过拍额头的时候。
数学愉快。
