谜题有助于培养直觉——弄清楚如何在网格中导航帮助我理解了组合和排列。
假设你在一个4×6的网格上，想从左下角走到右上角。有多少条不同的路径？避免回溯——你只能向右或向上移动。
花几秒钟思考一下如何计算。
洞察：将图片转换为文字
考虑可能的路径时（用手指描画），你可能会低声说“上，右，上，右……”。
为什么不把这些想法写下来呢？使用“u”和“r”，我们可以写出一条路径：
r r r r r r r u u u u
即，一直向右（6个r），然后一直向上（4个u）。图中的路径如下：
r r r r u u u u r r
使用文本解释，问题变成“有多少种方式可以重新排列字母 rrrrrruuuu?"
啊，无处不在的 组合/排列问题 ——从没想过它会有用吧？
理解组合(Combinations)和排列(Permutations)
有多种方式看待组合和排列问题。一旦第一个解释被理解了，我们可以回过头来用不同的方式看待。当试图 建立数学直觉 对于一个难题，我会想象几个围绕核心思想的思维模型。从一个洞察出发，然后逐步展开到其他方面。
方法1：相同起始
与其说有6个右移和4个上移，不如想象我们一开始有10个右移（r r r r r r r r r r).
显然这样不行：我们需要将其中4个右移改为上移。有多少种方式可以选择4个右移进行转换？
嗯，第一个要转换的“右移”有10种选择（见 组合文章）。第二个有9种，第三个有8种，最后一个右移转上移有7种选择。所以总共有10 * 9 * 8 * 7 = 10!/6! = 5040种可能性。
但是，等等！我们需要去除重复：毕竟，按顺序转换移动#1 #2 #3 #4与转换#4 #3 #2 #1是相同的。我们有4!（4 * 3 * 2 * 1 = 24）种方式重新排列我们选中的上移，因此最终得到：
我们只是挑选要转换的项目（10!/6!），然后除去重复（4!）。
方法2：直接使用组合公式
解释到这里时，你可能已经意识到我们是在重新构建组合公式：
当你知道顺序不重要时，这就是捷径。然而，有时我不确定一开始需要的是排列还是组合。虽然直接说“用C(10,4)”可能准确，但作为教学工具并不可取。有时自己重新推导一下会更有帮助。
方法3：不同起始
另一种方法：不让每个r和u可互换，而是给“右移”标号为r1到r6，“上移”标号为u1到u4。有多少种方式重新排列这10个项目？
这个问题很简单：10! = 3,628,800（哇，好大的数字）。第一步有10种选择，第二步有9种，依此类推，直到第9步有2种选择，最后一步只有1种选择。酷。
当然，我们知道“r1 r2 u1 u2”和“r2 r1 u2 u1”是同一条路径。我们可以在各自的子组内打乱r和u的顺序，路径保持不变。
- 有多少种方式可以打乱全部10个？10! = 3,628,800
- 有多少种方式可以打乱6个r？6! = 720
- 有多少种方式可以打乱4个u？4! = 24
所以，我们从总可能性（10! = 3,628,800）开始，然后除以打乱r（6! = 720）和打乱u（4! = 24）的情况：
真巧妙！看到同一组乘法和除法以不同方式重新组合，很酷。
为什么这很有用？
一个目标是学习如何转化问题。还记得那幅老妇与少女的画吗？
你两者都看到了吗？你能在它们之间切换吗？是不是很酷？
网格路径谜题的乐趣之一，就是看看如何用视觉或文字隐喻来看待一个问题。你学到的数学越多，可用的模型就越多，你可以将问题相互转化。
这不一定要“实用”——仅仅用纸上的字母列出路径就很有趣。
在数学术语中，可以相互转化的问题称为“同构”。数学上它们可能相同——但从人的视角看，其中一个可能比另一个更容易（就像先看到老妇还是少女）。
对于网格谜题，我们在各个部分使用了更适合的视角：
- 可视化网格 理解一般问题并看到一条路径。
- 将路径写成文本 看到所有路径的通用格式及一种简单的枚举方法。
这就是关键的教训： 用一个模型理解概念，用另一个模型处理细节，这完全没问题。 当我们认为只有一种方法可以解决数学问题时，数学就变得困难了。
变体与扩展
既然我们已经建立了思维模型，接下来让我们解决一些更难的问题。
想象你的“网格”实际上是三维的。虽然画起来更难，但文本表示仍然有效。假设我们有一个立方体（x、y 和 z 维度），每条边长 5 个单位。从一个角到对角有多少条路径？
嗯。在这种情况下，我可能会尝试第二种方法，即列出所有可能性。假设我们给每一步都标上不同的标签：每种类型有 5 个唯一标记的步骤（x1-x5, y1-y5, z1-z5）。我们可以将它们排列成 15! 种方式（数量巨大：1.3 万亿）。但是，我们需要记得除以每个维度中的冗余。
在每个方向上，有 5! 种方式重新排列 5 个相同的移动，我们将它们除去：
哇，一个小立方体上的路径数量竟然如此巨大！今天早些时候你可能还搞不定这个问题——我知道我自己也搞不定。但从网格例子入手，将其转换为文本，我们已经增强了模型以处理三维。四维、五维或十维的路径应该不成问题。
重新定义问题
有趣的部分来了：与其改变我们看待解决方案的方式，为什么不改变 问题？ “在网格上找路径”还能代表什么？
陷阱平台：假设你正在制作一组 4 × 6 的活板门，只有 1 条真正的路径通过（其他的会让你掉进火山）。某人随机走过去的概率有多大？对于 4×6 网格，是 210 种路径，和之前一样。对于 12×12 网格，是 24!/12!12! = 270 万条路径，只有 1 条正确的。
运算顺序：假设你有 10 组练习要做：4 组相同的腿部练习，6 组相同的手臂练习。你可以选择多少种不同的训练顺序？这和导航路径相同，只不过坐标轴标签是“腿部”和“手臂”，而不是“右”和“上”。
随机游走：假设我们知道一个物体随机向上或向右移动。经过 10 步后，它到达我们期望的终点的概率是多少？嗯，有 2^10 = 1024 种方式向上或向右移动（选择“u”或“r”共 10 次），有 210 种方式恰好到达我们的目标位置。因此，你可以期望有 210 / 1024 = 20.5% 的概率到达那个点！
这里有一个计算器，可以尝试一些变化：
继续向上
谜题是学习新思维模型的有趣方式，也能加深你对熟悉模型的理解。虽然我可能“知道”组合与排列，但直到我在实际问题中识别出它们，我才真正感到自在。想法若只是像博物馆中的文物一样待在脑海中，就不会有任何益处——它们需要被拿出来玩味。数学快乐。
