要检查你身体的柔韧性，不需要做一堆测试。只需弯腰触摸脚趾。是否毫不费力？
如果不行（而且确实不行），你就知道自己需要多拉伸。目标不是劈叉，只是某个自己设定的水平。
我的数学目标类似。我不需要专家级的熟练度，只需要对我关心的主题有“触到脚趾”式的理解。
示例：指数(Exponent)直觉检验
以下是我可能会用来验证对指数理解的内心对话。
直觉检验(Gutcheck)：大致来说，$2^{100}$ 等于多少？
它是一个大的、偶数、正数。（这种直觉应该几乎瞬间出现。如果花10秒思考才能意识到它是大的、偶数或正数，那说明指数还不自然。）
直觉检验(Gutcheck)：大致来说，$2^{-100}$ 等于多少？
它是一个微小的、几乎不可察觉的正小数。直觉：就像“回到”100次翻倍之前。
直觉检验(Gutcheck)：大致来说，$2^i$ 等于多少？
哎呀。虚数指数！有了足够的直觉，你会意识到：“它在单位圆上，大约 ln(2) ~ .693 弧度。”
这里有几点直觉检验。首先，虚数指数让你处于单位圆上（无论底数是多少）。其次，是一个粗略的“重要常数”直觉检验，你记得 ln(2) ~ .693。（不是那么重要，但记住有好处。它有助于理解如72法则之类的东西。）
直觉检验(Gutcheck)：大致来说，$i^i$ 等于多少？
哦，这里有个棘手的。还记得我们脱口而出 $2^{100}$ 是大的、偶数、正数的吗？我们为自己的快速思维感到多么自豪？那么，关于 $i^i$，你能说什么呢，高手？
哎呀。意识到我不能立即说出 $i^i$ 的任何性质，意味着我对指数的直觉还不完整。在获得对...的直觉之后 虚数指数(imaginary exponents)，想法变成了：
$i^i$ 最初是指向侧面的增长，其方向被再次旋转。它是一个小于1.0的正实数。
呼。如果我真的理解了指数，对 $2^{100}$ 和 $i^i$ 的直觉检验应该在速度和细节上相似。痛苦的拉伸意味着我需要更多理解。
更多示例
直觉检验过程不太容易转化为文字。这些内心的来回交流发生在言语之前：我想出一个问题，然后快速感受/想象/回忆一个类比。（这是直觉检验，不是花几分钟出声思考的检验。）
以下是我时不时会过一遍的几个例子：
虚数(Imaginary numbers)：-1 的立方根是多少？
- 思考：好的，$i^2 = -1$ 意味着我们从1到-1走了两步。三步到达意味着60度旋转（180/3）。哦，我们也可以走另一边（-60度）。哦，我们可以翻转180度（180+180+180=360+180=净180度旋转）。所以-1有3个立方根。
傅里叶变换(Fourier Transform): 的变换是什么 [1 0 0 0]?
- 思考：我们想要4个等强的频率（0Hz、1Hz、2Hz、3Hz）。它们将力量“1”分摊，所以我们得到
[.25 .25 .25 .25]（使用傅里叶变换(Fourier Transform)文章中的符号）。
三角学(Trigonometry): 六个主要三角函数之间有什么联系？
想法：我认为"圆顶、墙壁、天花板"并在脑海中画出这个三角学图表：
微积分: 解释 $x^3$ 的导数
- 思考：$x^3$ 实际上是 $x\cdot x \cdot x$。我们有3个视角，每个看到 $x \cdot x$ 的变化。结果是 $x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2$。我还想象一个立方体，上面添加了平板。
贝叶斯定理(Bayes Theorem): 用通俗语言怎么说？
- 思考：机会证据为真 = 真阳性 / (真阳性 + 假阳性)
指数(Exponents): 离散指数增长与复合指数增长看起来有什么不同？
- 思考：我将连续指数增长视为填补离散增长留下的“空白”。
关键要素是速度：听到问题时，一个直观的反应应该自然涌现。花一个小时努力去摸到脚趾头，虽然值得赞赏，但仍然说明我的柔韧性不够。
目标不是学习细枝末节，而是对一个概念有工作性的理解，足以毫不费力地解决问题。这是一种诊断，而不是价值判断。如果我感到困难，我只需要更好的直觉。
奇怪的是，并不是每个人都想时刻记住数学见解。但选择对你重要的内容，偶尔对核心概念进行一次5秒的快速检查。
数学愉快。