数学课有两个目标：
- 验证 一个命题为真
- 理解为什么 一个命题为真
人们倾向于将这两个目标对立起来，认为概念要么“容易理解但错误”，要么“难以理解但正确”。
这就像一家认为味道 或者 和营养不能兼得的餐馆。为什么非要选择呢？
我们的目标是对正确的事物有深刻的直觉。从理解一个“大致正确”的概念开始，然后将其精炼为理解“非常正确”的版本，这完全没问题：
正确性并非二分法。我们对有效证明的标准多年来一直在演变，一个世纪后，我们关于真实的概念可能会显得原始得令人尴尬。没关系：让我们先获得一个合理的理解，然后努力改进它。
我们必须平衡两个角色：确保食物安全的安检员和想要享受美食的顾客。在我的脑海中，我思考“检查模式”和“品尝模式”：秘诀是检查那些已经味道不错的东西。
示例：勾股定理
勾股定理通常作为关于 三角形的陈述被引入。一个常见的证明是像这样的视觉重排：
这既营养又正确，但对我来说却不好吃。它看起来像是一个特例，一种视觉错觉：通过 仅仅 适当的形状，事物可以被重新排列。
一个更美味的证明是，勾股定理实际上关乎二维面积的性质。一个大的形状，当被分割时，会产生两个较小的形状。总面积必须相等：
分割出来的面积可以来自三角形、圆形或托马斯·杰斐逊的纸板剪影。这无关紧要：从一个大形状中切割出的两个部分，总面积必须相同。
啊哈！
这种直觉随后可以被提炼成更 正式陈述.
示例：欧拉公式 (Euler's Formula)
这里有一个更棘手的例子：欧拉公式。
这是一个令人困惑的陈述，以下是 常见论证:
它简洁明了，但即使对其他数学爱好者来说也不令人满意：
我同意：这是一堆恰好排列在一起的符号。以下是 更美味的版本:
- $e^x$ 表示连续增长（利息产生利息，而产生的利息又产生利息……）
- $\sin(x)$ 和 $\cos(x)$ 表示垂直和水平方向
- $i$ 表示旋转
如果我们创建“连续旋转”(continuous rotation)（$e^{ix}$），那么我们就会在圆上移动，这可以分解为水平分量和垂直分量（$\cos(x)$ 和 $i \sin(x)$）。
同样，这种直觉可以进一步锐化：
- $e^x$ 可以看作一个无穷级数，起始于初始值（$1$），它产生的利息（$x$），利息产生的利息（$\frac{x^2}{2!}$），以此类推。
- 正弦(Sine) (而余弦) 是基于初始冲量的无穷级数，该冲量产生一个回复力，该回复力又产生一个回复力，以此类推。这就像在相反方向产生利息的利息（这也是正弦函数振荡而不趋于无穷的原因：其运动与自身相反）。
- 将 $i$ 代入 $e^x$ 意味着我们获得了"虚利息"（$i$），它又产生"虚虚利息"（$-1$），再产生"虚虚虚利息"（$-i$），以此类推。部分利息与前面的项相抵消，我们可以将它们整理成与正弦和余弦匹配的模式。
与其盯着一个枯燥的证明并试图直接理解它，不如先获得一个粗略的直觉（ADEPT 方法）然后再看证明是否合理。这有点像数学中的“盗梦空间”，我们试图 理解 验证步骤，而不仅仅是 验证(verify) 验证步骤。
数学愉快。
附录：论数学中的证明与进步 (On Proof and Progress in Mathematics)
威廉·瑟斯顿（William Thurston，菲尔兹奖得主）写了一篇精彩的文章， 论数学中的证明与进步。其中包含许多我觉得有趣的观点：
- 数学家的问题是：“数学家如何推进人类对数学的理解？”
例如，当阿佩尔（Appel）和哈肯（Haken）通过大规模自动计算完成了四色地图定理的证明时，引发了许多争议。我认为这场争议与人们怀疑定理的真实性或证明的正确性关系不大。相反，它反映了人们除了知道定理为真之外，还持续渴望对人类理解证明的需求……他们通过这类经验发现，他们真正想要的通常不是一堆“答案”——他们想要的是理解。
- 我们从未停止对一个概念的阐释：
我们可能认为关于某个主题我们已经知道了一切，但新的见解就在眼前。此外，一个人清晰的思维图像可能是另一个人的恐惧之源。
- 论直觉的作用：
就个人而言，我投入了大量精力来“倾听”我的直觉和联想，并将其构建成隐喻和联系。这涉及一种同时使我的思维安静和专注的过程。言语、逻辑和详细的图像在脑海中翻腾会抑制直觉和联想。
- 数学中“皇帝的新衣”问题甚至出现在专业人士身上：
尽管如此，在普通的学术讲座中，大多数听众从中获得的收获甚微。也许他们在前5分钟内就迷失了，却默默地坐完了剩下的55分钟。或者他们很快失去兴趣，因为演讲者一头扎进技术细节，而没有提出任何探究它们的理由。在讲座结束时，少数与演讲者领域相近的数学家会提一两个问题以避免尴尬。
另一个问题是，人们有时需要或想要一个被接受和验证的结果，不是为了学习它，而是为了能够引用和依赖它。
- 论日常解释与专业解释的区别：
为什么从非正式讨论到讲座再到论文会有如此大的扩展？一对一交流时，人们使用远超正式数学语言的广泛沟通渠道。他们使用手势，画图和图表，制造音效并使用肢体语言……在论文中，人们则更加正式。作者将自己的想法转化为符号和逻辑，而读者则试图将其翻译回来。
这就像一台新烤面包机附带了16页的使用手册。如果你已经了解烤面包机，并且这台烤面包机看起来和你以前见过的相似，你可能会直接插上电源试试能否工作，而不是先阅读手册中的所有细节。
- 论我们学习数学的动力：
是什么激励人们从事数学？做数学、学习那些能够解释、组织和简化的思维方式，确实有一种真正的乐趣。人们可以在发现新数学、重新发现旧数学、从某人或文本中学习一种思维方式，或者找到一种解释或看待旧数学结构的新方法时，感受到这种乐趣。
我喜欢概念突然清晰时的“啊哈！”时刻。人们愿意主动寻找神秘和谜题（未知结局的电影、像俄罗斯方块这样的游戏）。数学是一种体验，当以正确的方式接触时，也能带来类似的情感回报。