摘要： 我正在从头开始构建一门微积分课程，专注于 持久直觉，而不是我们已经习惯的死记硬背-考试-遗忘的循环。
更新：该课程现已发布在 https://betterexplained.com/calculus
问题：我们从未内化微积分(Calculus)
首先：当前微积分的教学方式有什么问题？（哈！）
看看结果就知道了。绝大多数幸存者，即那些在几门课程中使用过微积分的STEM人士， 无持久直觉。我们记住了步骤，将它们应用于预先打包好的问题（“喂，老兄，$x^2$的导数是多少？”），而没有内化任何东西。
想要证据？没问题。拿一根绳子，紧紧绕在一枚25美分硬币上。再拿另一根绳子，紧紧绕在地球上。
好了。现在，将两根绳子都加长，在末端增加更多长度，使得硬币周围有1英寸的间隙，地球周围也有1英寸的间隙（有点像土星周围的环）。明白了吗？
小测验：哪种情况需要更多的额外绳子？是在硬币周围增加1英寸间隙需要更多绳子，还是在地球周围增加1英寸间隙需要更多绳子？
想一想。仔细琢磨。准备好了吗？结果……一样。 相同！ 在地球和硬币周围增加1英寸间隙所需的额外绳子是相同的 6.28 英寸.
坦率地说：如果你“学过”微积分，但在3秒内没有得出答案，你就没有真正理解它。至少没有深刻理解。
现在，别难过，我以前也不知道。在我问过的几十个工程师中，只有一位工程师毫不犹豫地给出了答案（我的空手道老师，罗斯先生）。
这个问题有几个理解层次：
代数机器人: 计算周长的变化：
2*pi*(r + 1) - 2*pi*r = 2*pi它们是一样的。计算完成。微积分学徒：哦！我们知道
circumference = 2*pi*r。导数是2*pi，一个常数，这意味着当前半径对周长变化没有影响。微积分禅宗大师：我看到了事物的本质。我们正在改变一维半径，并观察一维周长。一维输入，一维输出，就像把篱笆加长1英尺：初始尺寸不会改变所需的工作量。这个间隙可以绕圆、正方形、矩形或理查德·尼克松面具的边缘增加，对于相似形状，所需的工作量相同。（而且，我傻傻地，早就忘了圆周长的公式！)
我们可以成为微积分战士僧侣，凭借直觉攻克问题。注意，最先进的方法并不需要特定方程——它只是思考问题本身！方程是很好的工具，但它们是唯一理解的来源吗？
看，根据标准化考试和期末考试，我“知道”微积分——但显然只是初级的。我并没有立即认识到微积分如何帮助解决关于让线变长的问题。如果你问某人一个钱包里有六张20美元钞票的现金总额，而他们没想到用乘法，你会认为他们已经内化了算术吗？（“哦天啊，你没告诉我这是个 乘法 问题！你能帮我设置这个问题吗？”）
我希望你能拥有我从未有过的、直觉优先的微积分课程。 目标是 持久 直觉，由一个兴奋的朋友分享，并建立在这样的测试之上：“如果你没有内化这个想法，那么材料必须改变。”
如何让学习变得直观有趣？
通过渐进式细化。你可能见过这两种下载和显示图像的方法：
- 基线渲染： 从开始到结束完整下载详细版本
- 渐进式渲染：先下载模糊版本，再逐步细化
教授一门学科是类似的：
- 基线教学： 逐一深入覆盖单个概念
- 渐进式教学 先看全局，了解整体如何协调，再细化细节
“从头到尾”的方法看起来很正式。有条理。严谨。但它不起作用。
当你以全分辨率看到肖像的前20%时，你确切知道什么？一个额头？你甚至知道性别吗？年龄？老师已经忘记 你从未看到全貌 并且可能无法理解你甚至看到了一个额头！
渐进式渲染（从模糊到清晰）提供了完整的概览，一个 粗略近似 专家所见的部分，并让你对更多内容感到好奇。在概览之后，我们开始填充细节。而且因为你知道方向，你学习起来很兴奋。哪个更好：“让我们下载额头的下10%”，还是“让我们锐化图像”？
让我们承认：我们会忘记大部分课程的细节。如果我们无论如何都会有一个模糊的记忆，难道不应该是整个画面的记忆吗？这样最有希望吸引我们日后去锐化细节。
我们如何判断一堂课的好坏？
通过披萨盒测试。想象你步行回家时经过一个垃圾箱。你看到废弃披萨盒上潦草的信息。这个便条是否如此有见地和令人信服，以至于你会把披萨盒带回家读完？
忽略一堂课是数字化的、移动友好的、游戏化的、交互式的或基于手势的全息影像的闪光点。 如果这节课写在披萨盒上，你会把它带回家学习吗？
如果是，太好了！把它清理干净并添加华丽装饰。但如果 核心课程 没有点缀就不吸引人，那它必须重做。
每个人的“披萨盒”标准各不相同；只要有一个就行。以下是一些我希望高中教室外盒子上写着的内容：
嘘！把 e 视为所有增长率中的通用组件，就像π是所有圆中的通用因子一样……
嘿，伙计！角度是从观察者的视角来看的， 弧度 是从运动者的视角来看的。这就是为什么弧度更自然。让我告诉你……
哟！ 虚数(Imaginary numbers) 是另一个维度，乘以i就是向那个维度旋转90度！旋转两次你就面朝后方，即-1。
我们如何知道什么对学生最好？
通过专注于未来的你会教给现在的你什么。
老师们，和我们所有人一样，面临外部激励，这些激励可能干扰他们的目标（发表或灭亡、规定课程、需要用术语给他人留下深刻印象等）。“未来的我会教现在的我什么？”这个测试帮助我专注于要点：
使用尽可能短的课程。没有字数限制。用更少的词语表达相同的见解更受欢迎。
使用尽可能简单的语言。这是未来的我和现在的我对话。这里没有需要给谁留下深刻印象。
运用任何令人难忘的类比。我不会因为“幼稚”的类比而尴尬。如果一个比喻让我兴奋并且有帮助，我就会用它。哼。
做朋友，而非讲师。我想要一个伙伴，一个碰巧比我更早经历过这些材料的向导，而不是一个我不敢质疑的自命不凡的女教师。
指出赤裸的皇帝（指揭示显而易见的真相）。大多数微积分课程按照“极限、导数、积分”的顺序讲授……为什么？极限是最微妙的概念，发明于19世纪中期。牛顿、莱布尼茨、欧拉、高斯、泰勒、傅里叶和伯努利等数学家是否因为没有使用极限而有所不足？（反过来：你因为使用了极限就比他们更好吗？）大多数课程太胆怯（或无知）而不去质疑先介绍最难以捉摸、最低级主题的策略。
为长期学习而学。房间里的大象是，大多数数学课程是获得某种证书的垫脚石。未来的我不玩那个游戏：他只会在现在的我 永久地 真正理解某件事情时受益。
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让我们先凭直觉学习微积分。目标是让你的直觉和类比库得到持久升级。如果没有实现，课程就不奏效，并且会不断改进直到达成目标。
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数学愉快。