我们很容易过于字面地理解数学。当我们读到 龟兔赛跑，我们知道它不是关于动物学——其中蕴含着更深的智慧。
为什么我们不能把方程看作伊索寓言那样，里面藏着寓意呢？
看看勾股定理。它似乎是在讨论三角形，对吧？
嗯，当然。但仅仅如此吗？看到这个方程：
有一个字面解释：“三角形的边具有特定的数学关系。”
好了，不错。这是一些不错的动物学。退一步看，真正发生了什么？
三角形的边指向不同方向，它们之间存在数学关系。
或者更好的是：
存在于不同维度中的两个物体仍然可以进行比较。
这里有一个类比：谁是更好的运动员，迈克尔·乔丹还是穆罕默德·阿里？
我们不应该问谁的跳投或上勾拳更好——这种比较只停留在单一维度上，明显偏向一方。更好的比较应该涵盖所有维度： 与竞争对手相比，谁更具统治力？谁拥有更多冠军？谁对这项运动的推进更大？
啊。我们需要一种不同类型的“扩展性”比较，帮助每个组成部分看到另一面。
在三角形的情况下，我们有一个“A方向”（东/西）和一个“B方向”（北/南）。我们不直接比较它们，而是将它们平方以得到面积。为什么？
这里有一个直觉。单个方向指向我们二维宇宙中的一个单一方向。但面积跨越了 每一个 我们宇宙中所有可用的方向。通过将单个方向转换为其平方（指向所有方向），我们得到了一个可以比较的通用“全方向”格式。它变成了“通用面积 vs. 通用面积”，而不是“指向北 vs. 指向东”（即跳投 vs. 上勾拳）。
任何类型的通用自我比较都有效吗？（平方、立方等）
不，不幸的是。勾股定理很特别，因为它展示了 具体的 平方的比较（$a^2 + b^2 = c^2$）保持了整体与部分之间的简单关系。立方可能也有关系，但没那么明确。
勾股定理 事实: 直角三角形的边满足 $a^2 + b^2 = c^2$
勾股定理 智慧: 要比较不同的事物，找到一种通用的比较方式。（具体来说，将自己平方以创造面积。）
当你寻找故事蕴含的道理时，方程就不再那么枯燥了，对吧？
附录：可视化创建面积
在勾股定理中，我们可以想象将我们的一维线段旋转成面积并进行比较。在这里，我们可以将每条边旋转成一个圆：
哇哦，面积完美匹配了！
这是该定理的一个演示； 证明 表明面积总能这样完美地组合。（阅读更多。)
附录：向量勾股定理
我们可以用向量使我们的"自我比较"类比更加技术化。
- $\vec a$ 是向量 $(a, 0)$
- $\vec b$ 是另一个维度中的向量，即 $(0, b)$
- $\vec c$ 是由两者合成的向量：$\vec c = \vec a + \vec b = (a, 0) + (0, b) = (a,b)$
勾股定理说：“如果我们将每个项目与自身进行比较，则 $\vec a$ 和 $\vec b$ 的自我比较之和等于 $\vec c$ 的自我比较。”
(c compared to itself) = (a compared to itself) + (b compared to itself)
在向量的世界里，什么是自我比较？一个 点积(dot product) 与自身的比较。
勾股定理表述如下：
其成立的原因是：
（由于 $\vec a$ 和 $\vec b$ 垂直，它们的点积为零。）
对于各部分：
这种特定的自我比较保持了整体与部分之间简单的关系（加法）。
简单地看一眼两个向量并不能提供一种内置的比较方法；相反，使用一个推导出的 标量 （单个数值）来进行比较。